... Collider[*]
https://lhc.web.cern.ch/lhc/ 
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... 巨大加速器実験が行われている訳である[*]
素粒子物理学の解説として、 おこちゃま向けですが、https://www.kek.jp/kidsは良く書かれています。 
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... 必然的に素粒子論の研究は、ビッグバンの起源を探る研究になる[*]
東大の数物連携宇宙研究機構(https://www.ipmu.jp/ja)のテーマですね。 
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... という特徴がある(実際に確かめてみよう[*]
複雑な数式を扱うときには、''mathematica'' のようなソフトウェアを使うと便利である。(6)のように複雑な要素を持つ行列計算、 ベクトル計算も簡単にできる。 
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... 座標変換を表す[*]
たとえば、我々が開発している''JUDO''を見てください(https://darts.jaxa.jp/astro/judo)。天球上の位置を、赤道座標、銀河座標、黄道座標で切り替えてみることができます。 
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...オイラー角で表されるとき、人工衛星上の座標と天球座標の間の変換を与える[*]
これについても私たちのグループで管理している、「すざく」衛星の観測ログ を参考にしてください(https://darts.jaxa.jp/astro/tables/SUZAKU_LOG.html)。 各観測次期における「すざく」衛星の姿勢がわかります。2008年10月19日から20日にかけて、 HESSJ1825-137.3という天体が、(276.1943,103.9916,179.0000)というオイラー角で観測された、 というように。 
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...これら3つの物理的には全く異なる状況が、全く同じ数学で記述される事がポイントである[*]
なんて自然界って美しいんだ!、って、ときどき 感動したりしませんか？ 
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...傾いている[*]
地球自転軸の傾きは 41000年の周期で、 $22.^\circ2$から $24.^\circ5$ まで変化し、さらに25800年の周期で歳差運動している (コマの首振り運動と同じ)。これによって、赤道座標系は時間とともずれていくので、 いつの時点の地球自転軸に準じた赤道座標系かを明示する必要がある。現在普通に使われているのは2000年分点であり、これをJ2000で表す。私が大学院に入った1986年頃は1950年分点のほうが広く使われていて、これを、B1950と表す。 例として、ブラックホール天体、 白鳥座X-1の赤経赤緯は、 ($299.^\circ590$, $35.^\circ201$) (J2000), ($299.^\circ120$, $35.^\circ065$)(B1950) である。 
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...赤道座標である[*]
天球の回転がまさに我々が日常使っている時刻と 結びついているために、赤経を$0^\circ$から$360^\circ$で表す代わりに、 0時から24時で表すことがある。1時間が$15^\circ$に対応する。通常通り、 1時間は60分、1分は60秒。 時、分、秒に対応する部分をhh, mm, ss.sとしたとき、赤経を、hh:mm:ss.sと表記する。 また、一般的に1度は60分角、1分角は60秒角。これを、 $1^\circ=60^\prime, 1^\prime=60^{\prime\prime}$ と表記する。赤緯を分角、秒角で表わすことも多い。たとえば、 ある天体の赤経、赤緯を ($281.^\circ00$,$-4.^\circ07$) と書いても、($18:44:0.0$, $-4^\circ 4^\prime 12^{\prime\prime}$)と書いてもよい。 
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...fig:PlotCoordinatesは、これら3つの座標の間の変換を示したものである[*]
この図を作った Fortranプログラムをホームページに上げておきますので、参考にしてください。 
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...たとえば、以下の3つは天球上で同じ位置を表わす[*]
ほぼ銀河面上 (銀緯が小さいことからわかりますね？)、銀河中心から$28.^\circ5$離れて、 X線を強く放射している領域で、「僕の好きな空」です。 日本やアメリカの人工衛星でX線観測、チリやハワイの望遠鏡で赤外線観測をしました。 すざく衛星の観測ログ、https://darts.jaxa.jp/astro/tables/SUZAKU_LOG.htmlにある、 観測番号(シークエンスナンバー) 500009010,500009020の''GALACTIC_RIDGE''が、我々が提案したこの空の観測です。 また、このときの衛星の姿勢を表すオイラー角が（281.0000,94.0700,184.4698）であることもわかります。 
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... どうやってこのような座標変換を計算するのだろうか[*]
たとえば、 https://heasarc.gsfc.nasa.gov/cgi-bin/Tools/convcoord/convcoord.pl などで、座標変換のサービスを提供している。 
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...とする[*]
ベクトルとベクトルの 内積はスカラー。ベクトルとベクトルの外積はベクトル。よろしいですね？ 
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...detMatrix)を満たしていることに注意しよう[*]
手計算は面倒だが、mathematicaを 使えば一瞬で計算してくれる。しかし、ある程度は自分の手を動かすことを覚えておいたほうが良い。 
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...である[*]
正確な出典はわからなかったのだが、 HEASARCのcocoではこの値を使っているので、ここではそれに倣うことにした。 
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... JAXA宇宙科学研究所が製作する多くの科学衛星では、スピン軸が衛星の+Z軸、衛星の太陽電池パネルは+Y軸の方向を向いていて、観測方向(望遠鏡が向いている方向)は+Z軸方向である[*]
国や宇宙機関によって衛星座標系の定義が違うので注意が必要である。 
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...十分な発電量を得るため、+Y軸は、常に太陽の方向を向いている必要がある [*]
太陽と+Y軸のなす角を「太陽角 (solar angle)」と言う 
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... ROSAT衛星のデータを赤道座標で表し、Hammer-Aitoff投影法で表示したものである[*]
球を平面に投影するのに、いろいろな投影法がある。世界地図と同じ事。メルカトール図法とか、 モルワイデ図法とか、小学校の社会科で勉強しませんでした？ https://plain.isas.jaxa.jp/~ebisawa/Planetarium/などを参考に 
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...日本の「あかり」衛星は赤外線全天サベイ衛星である[*]
あかりの全天スキャンを説明したアニメーションです。https://www.nikon.co.jp/profile/technology/field/akari/index4.htm 
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...反時計周りに計った角を使う[*]
地球上では、通常、方位角は北から時計周りに計った角で定義する。経度が増える向きが地球と天球で反対のため、 こうなる。 
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... に応じて、オイラー角を決定する必要がある[*]
こういう衛星運用も、宇宙科学研究所の研究者の 大事な仕事である 
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... よって，太陽パネル(衛星の+Y軸方向)が太陽の方向を向くという条件は、以下のようになる事を理解しよう[*]
これを間違えると、太陽電池パネルに陽が当たらなくて、衛星が死ぬことになる！ 
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... 実際の第三オイラー角によって、Y軸が太陽の方向を向いていることを確認しよう[*]
以下のようにして、観測情報を得ることができる。
https://darts.jaxa.jp/cgi-bin/judo/draw_fits_suzaku?seq_no=500026010&group=SUZAKU
なお、Y軸は少々太陽からずれていても良い（太陽パネルに斜めに陽が当たると言うこと）。 Y軸が完全に太陽の方向を向いているとき、太陽角=0度。すざく衛星の場合は、太陽角が25度まで許される。 それ以上太陽角が大きくなると、電力供給不足で人工衛星が危なくなる。 
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...)を使って、確認してみよう[*]
JUDOの初期画面からShow Informationチェックボックスをチェック。filterダイアログボックスに500009020を入力すればよい。その画面に対応するパーマリンクが上記のURL。 
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... は以下のようなものである[*]
fv(https://heasarc.gsfc.nasa.gov/ftools/fv/)などのツールを使うとFITSファイルを読むことができる。お試しあれ。 
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... が用いられる。四元数を使うと、任意の座標変換を連続的に表現できる[*]
たとえば、ZYZで定義されるオイラー角を採用した場合、X軸の周りの回転を記述するのはやっかいである。 
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...四元数の性質[*]
この節と次節ではftp://ftp.cis.upenn.edu/pub/graphics/shoemake/quatut.ps.Zを参考にしています。このメモの著者のKen Shoemakeは、コンピューターグラフィクスにquaternionを導入した人らしい。 
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... が成立する[*]
これはそんなに自明でないから、ぜひ自分で手を動かして確認しておこう。 その証明には、スカラー三重積に関する法則(39)と、ベクトル三重積に関する法則、 $ {\bf A} \times ({\bf B} \times {\bf C}) = ({\bf A}\cdot{\bf C}) {\bf B} - ({\bf A}\cdot{\bf B}) {\bf C}$, $({\bf A} \times {\bf B}) \times {\bf C} = ({\bf A}\cdot{\bf C}) {\bf B} - ({\bf B}\cdot{\bf C}) {\bf A}$ を使う。(おそらく)力学の教科書に書いてあるように、ベクトル三重積の展開式を以下のように覚えておく。(1)展開式はカッコ内のベクトル の一次結合であって、(2)各ベクトルの係数は他の2つのベクトルの内積であり、(3)その符号は三重積の中央のベクトルに対しては正、 端のベクトルに対しては負である。 
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...四元数と回転[*]
この節の議論は、有名な教科書、''Classical Mechanics'' H. Goldstein に倣いました。 
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... よって、以下の定理が得られた[*]
オイラー角を用いて、3つの回転を順次行う際の行列計算が非常に 面倒くさかったことを思いだそう(54式など)。四元数を用いると、回転はよりシンプルに記述できる。 
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... 採用することがある[*]
私が「あすか」衛星のSlew(大きな姿勢移動)中の データを解析したとき、ジャイロを前方から積分して決めた姿勢と、後方から積分した 姿勢の平均を使うと、もっとも正確な姿勢が得られることがわかりました。 
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... 等速運動する二つの座標系(慣性系[*]
重力の影響は無視できるということ。 
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... m/s)に比べてはるかに小さいからである[*]
高校の物理や大学一年レベルの力学で扱う式に$c$はでてこなかったはず。それらの式は、以下に出てくる相対論的な式において光速を無限大としたときの近似になっている。 
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...ローレンツ変換[*]
Jackson, ``Classical Electrodynamics'' の''第1版''を参考にしています(日本語訳も出ています)。特殊相対論に関しては、 第2版よりも第1版の記述のほうがシンプルでわかりやすいと感じました。 
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...動いている時計はゆっくり進んでいるようにみえる[*]
この現象は、例えば 素粒子加速器実験では日々観測されている。素粒子固有の寿命$T_0$がごく短くても、 それを光速近くまで加速すると、我々が観測する寿命$T_1$は十分長くなるので、その ビームを観測することができる。 
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...である[*]
自明ではあるが、 式(120)について、これが成立することを確認しておこう。 
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...)観測者の測る時間である。つまり、物体とともに動く時計で測った時間は不変量であり[*]
だから、 例えば1秒の絶対的な長さというものを定義することができる。 
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...と言う、見慣れた式になる[*]
地上でボールを時速$u=100$kmで 投げる。同じ方向に時速$v=80$kmで進む列車から見ると、その速さは$u-v$=100-80=20kmであると 考えるのが自然であるが、これは本当は正しくない。 ここで、厳密に式(143)を使うと、時速 $(20+7\times10^{-15})= 20.000000000000007$kmになる。 
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...変化する[*]
光行差と年周視差を混同しないこと。後者は、地球の公転半径が、星の距離に比べ無視できないときに 効いてきて、その大きさは星までの距離に依存する。 
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...一般相対性理論[*]
この節では、 ''Exploring Black Holes -Introduction to General Relativity'', by Taylor and Wheeler, Addison Wesley Longmanを参考にして います。日本語でも英語でも一般相対性理論の 教科書は山のようにありますが、僕が見た限り、 これが一番直感的でわかりやすい教科書でした(しかし数学的な 導出とかは厳密ではありません)。 
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... 打ち消すことはできる、というのがポイント[*]
地上で「無(微小)重力実験」を行っている研究者は、 実験カプセルを自由落下させる際に無重力を実現する「微小重力実験塔」や、 飛行機のエンジンを切って放物線飛行(パラボリックフライト)する際に実現する微小重力状態を使っています。 日本無重量総合研究所のウェブサイト(https://www.mglab.co.jp)には、 無重力実験の動画がいろいろあって面白いです。 また、「無重力の町」 北海道上砂川町には、世界で最大規模の無重力実験施設があったのですが、2003年に 惜しまれながら閉鎖されたそうです(https://www.noobowsystems.com/scenes/0108-zerogravity/zerogravity.html)。 
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...シュワルツシルド時空と呼ぶ[*]
回転している天体の周りの時空がカー時空である。 
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...で割った量として定義される[*]
たとえばブラックホールの場合は、 シュワルツシルド半径より内側が見えないので、半径を直接測れない。 
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... mm[*]
3 km, 9mmと覚えておけば大体事足りる。 
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...の天体のシュワルツシルド半径に一致する[*]
この導出は一般相対論を 使っていないので、厳密ではないことに注意。 
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... X線の性質から、中心天体が中性子星かブラックホールか推測はできるのだが[*]
これは 私の大学院時代からの研究テーマの一つです。 
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... ブラックホールの質量は、370万太陽質量である[*]
https://www.mpe.mpg.de/ir/GC/res_dance.phpなどを参考に。 
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... 2011年現在、技術的にそれはまだ実現していないが、ブラックホールシャドウとしてどのような画像が観測されるか、多くの計算がなされている[*]
この分野の 第一人者である大阪教育大学の福江先生の資料などを参考に:https://quasar.cc.osaka-kyoiku.ac.jp/~fukue/lecture/bhshadow_2010.pdf 
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...を達成することができる [*]
https://subarutelescope.org/Pressrelease/2006/11/20/j_index.html 
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... 達成することができる。それを世界で最初に（今のところ最後でもあるが）達成したのが、宇宙科学研究所の｢はるか｣衛星である[*]
https://www.isas.jaxa.jp/j/japan_s_history/chapter09/02/07.shtm 
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... 8kpcであり[*]
天文学においては、距離の単位としてpc (パーセク)が用いられる。それは、地球の公転による見かけ上の星の位置のふらつき、年周視差が $1\arcsec$となる星までの距離として定義される。地球と太陽までの距離(1天文単位)は1億5千万kmだから、 $1 \; \rm pc = 1.5 \times 10^{13} \; [\rm cm]/ (1 / 60/60/180 \times \pi ) \approx 3.09 \times 10^{18} \; [\rm cm]$。 
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... それによって、銀河中心のブラックホールの大きさに制限をつけたという報告もある[*]
https://www.nature.com/nature/journal/v455/n7209/abs/nature07245.html 
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...X線干渉計[*]
そういう計画はあります：https://maxim.gsfc.nasa.gov 
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... GPS衛星上で公転運動している観測者を考える[*]
地球は回転しているので、 厳密にはシュワルツシルドメトリックではなくカーメトリックを使う必要があるが、地球の 回転速度は光速に比べて十分小さいので、シュワルツシルドメトリックで十分良い 近似になっている。 
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... 円運動の公式から[*]
この計算には一般相対論を使っていないが、それで精度は十分である。 
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... (barycenter)で測定した値に直す[*]
太陽系重心を求めるにはすべての惑星を考慮にいれるが、木星の影響が一番大きい。それでも、太陽系重心は太陽の中心とはそれほどずれておらず、太陽の中にある。 
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... 「軌道ファイル」には、六要素がエポックの関数として与えられている[*]
あるいは、 すでに六要素から計算された人工衛星の位置が、より細かい時間ビンで入っていることもある。 
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... 受賞した[*]
https://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1993/press.html,https://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1993/illpres/参照。 
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...fig:sixelementsは「人工衛星の力学と制御ハンドブック」より[*]
https://spaceflight.nasa.gov/realdata/elements/graphs.htmlも参考に 
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...地球の自転周期は23時間56分4.09秒である[*]
24時間ではないことに注意。 太陽に対して同じ向きになる周期が1日=24時間。 
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... 可能である。一方、あかりは、つねに地球と反対向きの空を観測することが可能になっている[*]
地球は赤外線を出すので、赤外線衛星にとっては ノイズ源になる。 
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...(衛星の軌道を3次元的に表示し、そのスケールや向きをインターアクティブに変更できる[*]
なんと、2011年1月時点でリンク切れ！これほど良いサイトがどこにいったのか…。NASA頑張れ！ 
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... しかし、地球上の緯度が高くなると静止衛星の仰角は低くなるので、地形や建物の陰となって見えにくくなり、不便である[*]
緯度の高い国に行く機会があったら、衛星放送アンテナの向きがほとんど地面と並行になっていることを確かめてみてください! 
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...準天頂衛星である[*]
日本初の準天頂衛星｢みちびき｣が2010年9月11日に打ち上げられた。https://qz-vision.jaxa.jp/ 
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...の異なる三機の準天頂衛星が必要になる [*]
準天頂衛星の解説、https://www.satnavi.jaxa.jp/project/qzss/movie/index.html、 日本上空を通過する三機の準天頂衛星の運動を示したアニメーション、https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/ba/Qzss-01-120s2.gif、が大変良くできている。これらの作者に感謝します。現在の｢みちびき｣の位置：https://www.n2yo.com/?s=37158 あるいは、百聞は一見にしかず: https://il.youtube.com/watch?v=kMrmgspfu5o 
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...｢みちびき｣のTLEは以下の通りである[*]
なぜか、https://www.n2yo.com/satellite/?s=37158というサイトにあった。 
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... 現場でそれに携わって手を下すまでは、そこで必要とされているツールの重要性はなかなかわからないものである[*]
だからこそ、この講義は一般教養で学ぶ基礎的な勉強と 研究の最先端の現場をつなぐような意識でやっているのだが…。 
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... 入射するX線の数を、100秒の間、カウントした[*]
観測を行っている時間間隔の単位を ビン(bin)と呼ぶ。つまり、ここでは幅が一秒のビンが100ビンある。 
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... ことを覚えておこう[*]
ただし、ここで天体に固有の時間変動は存在しない事を 仮定している。たとえば、自転しているパルサー、爆発的に増光するバースターなどの 時間変動はここでは考えていない。 
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... で表す[*]
分散を$\sigma^2$で表すことが多い。分散の正の平方根$\sigma$が 標準偏差である。 
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... 赤棒線グラフで示したことに注意[*]
正規分布については、緑線の 下の面積が1になっていて、ポアソン分布については、赤線の長さを全部足すと、 1になっているわけです。 
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...個である事に注意[*]
$N-1$個の $x_i$と$\bar x$の値が与えられば、残り1個の$x_i$の値も決まる 
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...chi2table)と照らし合わせる[*]
電卓、ポケコンによっては、ポアソン分布、 正規分布、$\chi ^2$がライブラリとして入っているものがある。そういうモノを買おう！ 私の愛機、FX-860Pは残念ながら製造中止のようだが。。。 
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... あるいは、「X線フラッシュ」[*]
実際に、そういう現象が知られている。 
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...は、重力エネルギーが解放される一番内側の半径である。中性子星のときは中性子星の半径、ブラックホールの場合は降着円盤の内縁の半径 [*]
物質は 角運動量を持ってブラックホールに渦巻きながら落ちていくので、ブラックホールのまわりに円盤が形成される。これを降着円盤と呼ぶ。 
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... X-1[*]
さそり座X-1。全天で一番明るく、最初に発見されたX線源。 
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...トムソン断面積[*]
断面積という 概念に慣れておこう。文字通り、一つの電子がこれだけの面積をもって、光の道筋に立ちはだかっていると思ってよい。 
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...で、それより重いコンパクト星はブラックホールである[*]
質量以外にブラックホールの 観測的証拠はなかなか見つからないのだが、 「ブラックホールしかありえない」、ということ。 
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... それらの境界は必ずしもはっきりと定義されているわけではない[*]
X線天文学では、 2- 10 keVの波長域(エネルギーバンド)が、標準的に使われている。 
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... [eV]にくることがわかる[*]
厳密には$h\nu=2.82 kT$ にピークがくる。これは式(256)を$h\nu$で微分すれば得られる。 
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... MatherとSmootの2人は2006年のノーベル物理学賞を受賞している[*]
https://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2006/phyadv06.pdf。 
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... keVのX線で光っていることがわかる[*]
1 eV=11604 Kだから、 $\sim$2 keVは、2300万度と言っても良い。 
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... これは軟X線源として観測される[*]
エネルギーが低いX線を軟X線、soft X-rays、高いX線を硬X線、 hard X-raysと呼ぶ。 
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...である [*]
厳密には$R_s=2GM/c^2$という関係はアインシュタイン方程式を解かないと出てこないのだが、 以下のように覚えておくこともできる。質量 $m$の物体が質量$M$、半径$r$の天体 から脱出する際の脱出速度は、ニュートン力学で考えると $\frac{1}{2}m v^2 - G \frac{Mm}{r} =0$ より、 $v = \sqrt{2GM/r}$。半径が小さくなっていくと、天体の重力は強くなるので、それから 脱出するのに必要な速度は大きくなる。半径が、$2GM/c^2$まで小さくなると、脱出速度は 光速に等しくなる。この半径がシュワルツシルド半径。 
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...より内側では安定な円軌道が存在しないことが知られている [*]
これこそ、運動方程式を一般相対論的に解かないと出てこない。相対論の教科書を参考にして ください。 
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... たとえば、太陽の十億倍の質量を持つブラックホール[*]
このような 巨大ブラックホールが、活動的銀河中心核 (Active Galactic Nuclei; AGN)の正体と考えられている。 
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