四元数の性質

四元数は19世紀にハミルトンによって発見されたそうだ。数学的な側面はともかく、ここでは四元数の 応用面について述べる。すぐ後に述べるように、ノルム(norm)が1である単位四元数 (unit quarternion)は、3次元直交座標系の間の 直交変換を記述する。

四元数は複素数の拡張として、以下のように定義される。

$$q \equiv {\bf i} x + {\bf j} y + {\bf k} z + w, \;\;{\rm where}\;\; {\bf i}^2={\bf j}^2 ={\bf k}^2={\bf ijk}=-1.$$ (71)

ここで、$x,y,z,w$は実数である。

${\bf ijk}=-1$の左から${\bf i}$を掛けて ${\bf i}^2 = -1$を使うと、

$${\bf jk} = {\bf i}$$ (72)

が得られる。 同様に、右から${\bf k}$を掛けて ${\bf k}^2 = -1$を使うと、

$${\bf ij} = {\bf k}$$ (73)

が得られる。式(72)の左から式(73)を掛けて ${\bf j}^2 = -1$を使うと、

$$-{\bf ik} = {\bf ki}$$ (74)

が得られる。 同様に、(72)の右から${\bf k}$を掛けて、

$$-{\bf j} = {\bf ik} = - {\bf ki}$$ (75)

が得られる。左から${\bf j}$を掛けると、

$$-{\bf k} = {\bf ji}$$ (76)

が得られる。最後に、 (73)の右から${\bf j}$を掛けて、

$$-{\bf i} = {\bf kj}$$ (77)

が得られる。以上をまとめて、使いやすい形として、

$$\left\{\begin{array}{l} {\bf i}^2 = {\bf j}^2 = {\bf k}^2 = ... ...i} \\ {\bf ki } = - {\bf ik} = {\bf j} \\ \end{array}\right.$$ (78)

を得る。

また四元数を以下のようにも表す。

$$q = [{\bf v}, w] = [(x,y,z), w] = [x,y,z, w].$$ (79)

$\bf {v}$は、3次元空間のベクトルを表す。 $q = [{\bf v}, w], q'= [{\bf v'}, w']$とするとき、四元数同士の和は四元数であり、それは次のように定義される。

$$q + q' = [{\bf v}, w] + [{\bf v'}, w'] \equiv [{\bf v}+{\bf v'}, w + w'].$$ (80)

積については、以下のように考えられる。

$$q q' = [{\bf v}, w] [{\bf v'}, w'] = (x {\bf i} + y {\bf j} + k {\bf z} + w) (x' {\bf i} + y' {\bf j} + z' {\bf z} + w')$$ (81)

$$= x x' {\bf i}^2 + xy' {\bf ij} + xz' {\bf ik} + xw' {\bf i} + y x' {\bf ji} + yy' {\bf j}^2 + yz' {\bf jk} + yw' {\bf j}$$

$$+ z x' {\bf ki} + zy' {\bf kj} + zz' {\bf k}^2 + zw' {\bf k} + w x' {\bf i} + wy' {\bf j} + wz' {\bf k} + ww'$$ (82)

$$= - x x' + xy' {\bf k} - xz' {\bf j} + xw' {\bf i} - y x' {\bf k} - yy' + yz' {\bf i} + yw' {\bf j}$$

$$+ z x' {\bf j} - zy' {\bf i} - zz' + zw' {\bf k} + w x' {\bf i} + wy' {\bf j} + wz' {\bf k} + ww'$$ (83)

$$= (yz' - zy') {\bf i} + (z x' - xz') {\bf j} + (xy' - y x') {\bf k}$$

$$+ w (x' {\bf i} + y' {\bf j} + z' {\bf k}) + w'( x {\bf i} + y {\bf j} + z {\bf k})+ ww' - x x' - yy' - zz'$$ (84)

$$= [{\bf v} \times {\bf v'}+w {\bf v'}+ w'{\bf v}, w w' - {\bf v}\cdot {\bf v'}].$$ (85)

ここで、式の変形には、(78)を用いた。

四元数の積が可換でないことに注意(異なる軸の周りの回転が可換でないことに対応している)。また、 $q'' = [{\bf v''}, w'']$としたとき、

$$(q q') q'' = q (q' q'' )$$ (86)

が成立する。

定数や3次元ベクトルも、四元数表示することができる。$s$を実数の定数としたとき、その四元数表示は、 $[0,0,0,s]=[{\bf0}, s]$。 ${\bf v}$を3次元ベクトルとしたとき、その四元数表示は、$[{\bf v}, 0]$。定数や3次元ベクトルを四元数表示したとき、それらを 含む四元数の積に関して、以下は自明である。

$$s q = [{\bf0}, s][{\bf v}, w] = [s {\bf v}, sw] = qs,$$ (87)

$${\bf v} {\bf v'} = [{\bf v}, 0][{\bf v'}, 0] = [{\bf v}\times{\bf v'}, -{\bf v}\cdot{\bf v'}].$$ (88)

$s,s'$を四元数の定数、$p,q,q'$を任意の四元数としたとき、以下のように線型性が成立する。

$$p(sq + s'q') = spq + spq',$$ (89)

$$(sq + s'q')p = sqp + s'q'p.$$ (90)

四元数の共役(conjugate)の定義と、その性質は以下の通りである。

$$q^\ast = [{\bf v},w]^\ast \equiv [-{\bf v},w].$$ (91)

$$(q^\ast)^\ast = q,$$ (92)

$$(pq)^\ast = \left\{[{\bf v},w][{\bf v'},w']\right\}^\ast =[{\bf v} \times {\bf v'}+w {\bf v'}+ w'{\bf v}, w w' - {\bf v}\cdot {\bf v'}]^\ast$$

$$=[{\bf v'}\times {\bf v} -w {\bf v'}- w'{\bf v}, w w' - {\bf v}\cdot {\bf v'}]$$

$$=[{\bf -v'},w][{\bf -v},w'] =q^\ast p^\ast,$$ (93)

$$(p+q)^\ast = p^\ast + q^\ast.$$ (94)

ノルムの定義と性質は以下の通りである。

$$N(q) \equiv q q^\ast = q^\ast q = w^2 + {\bf v} \cdot {\bf v }= w^2+x^2+y^2+z^2,$$ (95)

$$N(q q') = (qq')^\ast (qq') = q'^\ast q^\ast q q' = N(q) q'^\ast q' = N(q) N(q^\ast),$$ (96)

$$N(q^\ast) = N(q).$$ (97)

特に、ノルムが1である四元数を単位四元数(unit quaternion)と呼ぶ。 $q$の逆四元数を

$$q^{-1} = q^\ast/N(q)$$ (98)

で定義する。$q$が単位四元数であるとき、

$$q^{-1} = q^\ast$$ (99)

である。