スカラー三重積と行列式

もうひとつ、直交行列の性質として、その行列式の値は1である、と言うことがある。 これを証明してみよう。

まず、ベクトルの外積の復習をしておこう。 3次元のベクトル ${\bf A},{\bf B}$の外積を${\bf O}$とする。

$${\bf O} = {\bf A} \times {\bf B}.$$ (37)

Oは、AからBの向きに右ネジを回したときに、ネジが進む方向を 向くベクトルで、その大きさは、AとBがなす角を$\theta$ とすると、 $\vert A \vert \vert B \vert \sin \theta$で与えられる (${\bf A}$と${\bf B}$を二辺とする平行四辺形の面積)。また、各成分は以下の通りである。

$$\left(\begin{array}{c} O_x\\ O_y\\ O_z\\ \end{array} \ri... ...A_z B_x - A_x B_z\\ A_x B_y - A_y B_x\\ \end{array} \right)$$ (38)

一般的に、ベクトル ${\bf A},{\bf B},{\bf C}$のスカラー三重積は、

$${\bf A}\cdot ({\bf B}\times{\bf C})={\bf B}\cdot ({\bf C}\times{\bf A})={\bf C}\cdot ({\bf A}\times{\bf B})$$ (39)

で定義される。 ${\bf A},{\bf B},{\bf C}$がこの順に右手系をなすとき、スカラー三重積は、 この3つのベクトルが作る平行六面体の体積を表わす。 スカラー三重積を ${\bf A},{\bf B},{\bf C}$の直角成分を用いて書くと、

$${\bf A}\cdot ({\bf B}\times{\bf C})= A_x B_y C_z + A_y B_z C_x + A_z B_x C_y -A_x B_z C_y - A_y B_x C_z - A_z B_y C_x$$ (40)

$$= \left\vert\begin{array}{ccc} A_x & A_y & A_z\\ B_x & B_... ..._y & B_y & C_y\\ A_z & B_z & C_z\\ \end{array}\right\vert.$$ (41)

ここで、 $\vert {\bf A} \vert$は行列${\bf A}$の行列式を示す。 上記で定義した直交座標系の基底ベクトル ${\bf e_1}, {\bf e_2},{\bf e_3}$ または ${\bf e'_1},{\bf e'_2},{\bf e'_3}$が作る平行六面体の体積は当然1なので、 それらのスカラー三重積は1、つまり直交変換の変換行列の行列式の値は1である。

$$\left\vert\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ ... ...3}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array}\right\vert = 1$$ (42)

$3x3$行列の行列式の計算方法から

$$a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21}... ..._{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} = 1$$ (43)

である。