固有時間

式(117)で示されるように、$(x,y,z,ict)$の長さは ローレンツ不変量であるから、微少なベクトル $(dx,dy,dz,ic dt)$の長さもローレンツ不変 である。すなわち、

$$-c^2 d\tau^2 = dx^2+dy^2+dz^2-c^2 dt^2,$$ (133)

$$-c^2 d\tau'^2 = dx'^2+dy'^2+dz'^2-c^2 dt'^2$$ (134)

と書いたとき、$d\tau=d\tau'$である。 $d\tau$は、$K$系の時計で$dt$の間に$(dx, dy, dz)$移動する物体とともに動く ($dx=dy=dz=0$)観測者の測る時間、$d\tau'$は、 $K'$系の時計で、$dt'$の間に $(dx', dy', dz')$移動する物体とともに動く($dx'=dy'=dz'=0$)観測者の測る時間である。つまり、物体とともに動く時計で測った時間は不変量であり、この $\tau$を固有時間と呼ぶ。

式(133)を、

$$dt = \frac{d\tau}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}$$ (135)

と書くと、 これはまさに式(130)と同値で、 動いている時計はゆっくり進んでいるように見えることを示している。