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X-ray Astronomy Exercises (X線天文学演習) in 2018

Ken Ebisawa (ISAS/JAXA, ebisawa AT and Yasuharu Sugawara (sugawara.yasuharu AT


Understand production mechanisms of high energy radiation, in particular X-rays, in the Universe. Also, learn principles of X-ray observation from space using artificial satellites. Understand how to handle and analyze data to study physics of X-ray sources. Practical examples are given as much as possible.
Having taken these exercises for a year, students are expected to ...
   understand principles of X-ray observations,
   be able to read papers on X-ray astronomy,
   be able to analyze X-ray data taken by various X-ray satellites,
   be able to write observation proposals for X-ray observatories, and
   be ready to write a paper on X-ray astronomy.


Before each class, a presenter is assigned in advance, and his/her tasks are given according to the theme of each class. The presenter works out on the tasks, explain the theme to the participants, so that all the participants understand the theme. Participants are encouraged to give a lot of questions, and active discussion is expected.

We intend to use white-board more than projector, since it is important to understand things by manipulating hands. Participants are expect to bring calculator as well as note and pen. We expect students to make calculation and take notes by hand through the lecture. Working language is English and/or Japanese, so that all the participants can understand.

Time and Location

ISAS, building A, 6th floor meeting room (A1639)
Thursday, 17:00 - 18:30

Web access

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Section 1: Basic Physics and Astrophysics

Exercise 1: (2018/05/24)

Presenter: Ebisawa
Theme: Scale of the universe. Review of basic of physics.
1) What are the three most basic physical parameters of the universe?
2) Indicate that the dimension of "length", "mass", "time" can be reproduced from these three parameters. What are the meaning of these values?
3) In which physical theories, which of the three parameters appear? Are there physical theories in which all the three parameters appear? What is the implication of this fact?
4) Obtain the relationship between the Planck length and the Planck mass. Compare the Planck length with the Schwarzschild radius of a particle having the Planck mass.
5) Let's assume that we detected a gravitational-event due to blackhole merger, where the amplitude is 10-21. How much the distance between Sun and Earth (1 astronomical unit) varies due to this gravitational event? Answer with the unit of Bohr radius.
6) Consider X-rays with the energy E [keV] and the wavelength λ [A]. Obtain the relationship between λ and E.
Reference: Ebisawa Lecture Note 1, section 1 and 2.1.

Exercise 2: (2018/05/31)

Presenter Ebisawa, Sugawara
Theme: Review of basic of physics and Astrophysics.
1) Express Coulomb's law in the MKSA unit and Gauss unit?
2) What is the dimension of electric/magnetic charge in the Gauss unit?
3) Express the light-velocity c using the vacuum permittivity ε0 and the vacuum permeability μ0.
4) Express Maxwell equations in the MKSA unit and the Gauss unit.
5) Indicate the relation between the magnetic energy density ε and the magnetic flux density B. Use both Gauss unit, where ε is in [erg/cm3] and B is in [gauss], and MKSA unit, where ε is in [J/m3] and B is in [T]. Examine that both agree.
6) Recite the following numbers/formula which often appear in physics and astrophysics:
Reference: Ebisawa Lecture Note 1, section 2.2 and 2.3.

No Exercise on 2018/06/07

Exercise 3: (2018/06/14)

Presenter: Ebisawa, Sugawara
Theme: Review of basic of physics and Astrophysics. How to interpret the X-ray data.
Answer to the following questions. You should remember these numbers.
1) Maximum mass of a white-dwarf (Chandrasekhar limit).
2) Typical mass and radius of a white-dwarf?
3) Are heavier white-dwarfs larger or smaller in size? What about neutron stars?
4) Typical mass and radius of a neutron star?
5) Theoretical maximum mass of a neutron star (≈ minumum mass of a black hole)?
6) Central density of a neuron star?
7) Typical magnetic field of an X-ray pulsar (in gauss)? What about extremely strongly magnetized pulsars (magnetors) ?
8) Maximum known mass of "stellar" black holes?
9) Mass of the black hole in the center of our Galaxy (Sgr A*)?
10) Maximum known mass of super-massive black holes (AGN, quasars)?
11) Innermost Stable Circulr Orbits (ISCO) of non-rotating black hole (Schwarzschild black hole)? What about a spinning black hole at the maximum rate (extreme Kerr black hole)?
12) X-ray energy spectrum (in ~1-30 keV) of Crab nebula in [photons/s/cm2/keV]. How many photons do you expect to detect at 1 keV per 1 sec per 1cm2?
13) Using above, 1 Crab is ** erg/s/cm2 in 2 - 10 keV.
14) Typical interstellar density (how many hydrogen atoms per cm3)?
15) Using above, typial hydrogen column density at 1 kpc in the Galactc plane?
16) Typical interstellar magnetic field strigns (in gauss)? What about the magnetic energy density [in eV/cm3]?
17) Energy density of cosmic microwave background [in eV/cm3]?
18) Typical cosmic-ray energy density in the Galactic plane [in eV/cm3]?
Lecture Note 1, section 2.2 and 2.3.

No Exercise on 2018/06/21

Exercise 4: (2018/06/28)

Presenter: Ebisawa, Sugawara
Theme: Review of basic of physics and Astrophysics. How to interpret the X-ray data.
1) In Newtonian mechanis, obtain the radius of a star with mass M, where the escape-velocity is equal to the light velocity. Compare this with the Schwarzschild radius.
2) Obtain light-crossing time of Schwarzschild radius of a star with mass M.
3) Estimate apparent size of a black hole, dividing the Schwarzschild radius by the distance to the source. Which is easier to "resolve", stellar black hole in our Galaxy, or super-massive black holes in other galaxies?
4) Estimate spatial resolution of an radio interferometer at 1mm, where the base-line is 10,000 km (=maximum on Earth). Also, estimate spatial resolution of an X-ray interferometer at 1 A, with the base-line is 20 m. Which has better spatial resolution?
5) Assume that black hole is a sphere having the Schwarzschild radius (ignore General relativistic effects). Estimate "density" of the black hole, simply dividing the mass by the volume. Is the density smaller or larger for more massive black holes? Can the black hole density smaller than that of water? If yes, when?
6-1) Ignoring general relativity, estimate total energy E (potential energy + kinetic energy) of a mass m rotating at the ISCO around a black hole with mass M. Consider the Schwartzshild case and the extreme-Kerr case. Compare with the precise values using general relativity.
6-2) When the mass m reaches the ISCO from infinisty (where the initial velocity is assumed to be zero), the energy -E is released. What will be the energy conversion efficiency, η, where -E = ηmc2? Compare with the efficiency of hydrogen nuclear burning.
7) Indicate relationship of interstellar hydrogen column density and interstallar extinction in V, J and K bands. Is exitnction stronger or weaker for longer-wavelength?
8) Amount of inter-stelllar dust to reduce the observed stellar flux by 1 magnitude has the optical depth of ***.
9) Estimate inter-stellar hydrogen column-density which becomes opaque (τ ≈1) in the K-band.
10) Estimate inter-stellar hydrogen column-density which becomes opaque at 1.5 keV. Compare with above.

Lecture Note 1, section 2.2 and 2.3.

Section 2: Astronomical Coordinates, Coordinate Transformation

Exercise 5: (2018/07/05)

Presenter: Takakura
Theme: Celestial coordinates (equatorial, ecliptic, Galactic). Review of the linear algebra. Coordinate transformation.
1) 赤道座標、銀河座標、黄道座標の定義を述べよ。
2) 地球の歳差運動とはどのようなものか、説明せよ?
3) 北天で一つ、南天で一つ、好きな天体を決めて、その座標の赤道座標 (B1950、J2000)、銀河座標、黄道座標を示せ (Coordinate Converter などのツールを使って良い)。 これらの座標を「度」と「時分秒(度分秒)」という表記で示し、表記間の換算方法を説明せよ。
4) これらの天体を地上から可視光で観測する場合を考える。大体どの地域の 天文台から、どの季節に観測したら良いか? (このようなツールを使うと便利。)
5) 地上から電波で観測する場合はどうなるか?
6) スペースから人工衛星で観測する場合は、同じ天体でも人工衛星の構造(設計)によって観測できる季節が異なる。それはなぜか?
7) 赤道座標<-->黄道座標の変換に用いられる変換行列、および赤道座標<--> 銀河座標の変換に用いられる変換行列がどうやって導かれるか、説明せよ。(こちらのアニメーションを参考に。)
8) これらの変換行列は3x3の直交行列である。3x3の直交行列の特徴を4つ述べよ。
9) 得意なプログラミング言語を用いて、赤道座標、黄道座標、銀河座標の間の座標変換を行うプログラムを作成せよ。
99) (もし余裕があれば) 横軸を赤経(0度から360度)、縦軸を赤緯(-90度から90度)とした平面上 に、銀経、銀緯のグリッド(格子)、および黄経、黄緯のグリッドを描くプ ログラムを作成せよ。( こんな図を作ってください。 pgplotを使ってこの図を作ったFortranプログラム)
・Examples of R scripts: equatorial to ecliptic, equatorial to Galactic.
Lecture Note (in English), section 4.1 to 4.3
Lecture note, Japanese version, section 2 and 3
・ 問題6に関連して。Crab Nebula (alpha=83.63, delta=22.01; lambda=84.10, beta=-1.29)は夏至点の方向にありますが、ほとんど光度が変化しない標準光源として、 各X線天文衛星が定期的に観測しています。
てんま衛星は年に一回、12月(冬至)頃に、いっぽう、 ぎんが あすか すざくでは、年に二回、3月(春分)頃または9月(秋分)頃にCrabを観測しています。その理由 を考えてみてください。

Exercise 6: (2018/07/12)

Presenter: Watanabe
Theme: Satellite attitude and Euler angles. Season and the viewing windows.
以下では、「あすか」、「すざく」のように、スピン軸が+Z軸、太陽 パネルの方向が+Y軸となるように衛星座標が定義され、Z軸方向に望遠鏡が設置されている場合を考える(+Zが観測ターゲットを指す)。Z軸、Y軸、Z軸の 順に、それぞれφ、θ、ψ回転した場合のオイラー角(φ、θ、ψ)を考える。
1. このような人工衛星の模型を用いて、オイラー角と人工衛星の姿勢の関係を説明せよ。
2. 第一オイラー角φ、第二オイラー角θと 観測ターゲットの赤経、赤緯(α、δ)の関係を述べよ。
3. 第三オイラー角ψとロール角の関係を示し、なぜそうなるかを説明せよ。
4. 黄北極 (North Ecliptic Pole; NEP)、黄南極 (South Ecliptic Pole; SEP)は、どの季節でも観測できる。春分、夏至、秋分、冬至において、NEPと SEPを観測する際のオイラー角を示せ。
5.あすか衛星は1993年から2000年まで運用され、その間、約2000天体の指向観測(ポインティング観測)を実施した。ポインティング間の姿勢変更(attitude maneuver, attitude slew)の際のデータをすべて集積し、空の各点における 露光時間を示したのが この論文のFig.1である(これを"exposure map"と呼ぶ)。上の図は銀河座標、下は黄道座標で描いている。なぜこのようなパターンになるか、説明せよ。
7. すざく衛星は、NEP領域を複数回観測している。季節によって、その視野の ロール角が変化する様子を説明せよ。季節(観測時期)と共に、視野は時計回 りに回転するか、反時計回りに回転するか?
8. 全天または天球の一部の画像を平面に投影する際の投影法を、最低6つ挙げ よ。
9. あかり衛星は赤外線で全天サベイを実施し、全天赤外線マップを作成した ( 参考1 参考2)。どのような姿勢制御を行って全天サベイを実施したか、説明せよ。この方法で全天をサベイするのに、最低、どれだけの時間を要するか? (こちらの動画を参考に。)
An example of the figure to explain definition of the "roll-angle" (angle between North and DETY axis).
Power-point file to illustrate the relashonship between the third Euler angle and the roll-angle. (問題3)
XMM-Newton のslew track(「あすか」と同様です)。
・問題7のヒント: すざくによるNEP領域の観測(JUDO2による。背景はDigital Sky Survery)。
・問題8の参考文献: この論文の図1, 2を参考に。
・問題8の参考文献: World Coordinate System (WCS)の標準論文 Table13を見ると、26種類の投影法があるようです!

No Exercise on 2018/07/19 and 07/26

Section 3: Satellite Orbits and Attitudes

Exercise 7: (2018/08/02)

Presenter: Midooka
Theme : Kepler's three laws. Satellite orbits. Six elements. TLE (two-line elements).
H21 年度 東京大学院大学院天文学専攻入試問題、物理学1を解くことによって、ケプラーの第一、第二、第三法則を証明せよ。
2. 任意の離心率を持つ楕円を正確に描く方法を示せ(ヒント:楕円とは2つの焦点からの距離の和が一定の点の軌跡)。
3. 人工衛星の軌道の記述に用いられる「軌道六要素」の意味を説明せよ。
4. 人工衛星の軌道の記述に用いられる"Two Line Elements (TLE)"の意味を説明せよ。軌道六要素との違いは何か?(Isanaさんのページを参考に。)
5. 静止衛星は、軌道傾斜角が0度で公転周期が地球の自転周期と同じため、 地球の赤道上では天頂で静止しているように見えるが、緯度が高くなるにつ れ、衛星の仰角は低くなる(緯度が高い地域では、衛星放送アンテナがほと んど水平を向いてます!こんな感じ)。日本から見たとき、できるだけ天頂付近に滞在する時間が長くなる衛星(準天頂衛星)の軌道は、どのように設計したら良いか? また、その軌道を、地表に投影したら、どのように見えるか?(これらの動画を参考に;動画1動画2)
6. 「すざく」、「ひとみ」の軌道傾斜角は、約31度である。これらは何できまっているか?
7. すざく、NuSTARなどの地球低軌道(Low Earth Orbit; LEO)衛星と、 Chandra, XMM, INTEGRALなどの高軌道衛星で天体を観測する場合を比較し、 それぞれのメリット、デメリットを二つずつ挙げよ。(ヒント:地球周辺の磁力線
8. 1996年から2002年まで稼働していたBeppoSAXはLEOを持ち、その軌道傾 斜角はほぼ0度であった(赤道上空を周回)。BeppoSAXは、より軌道傾斜角 が大きい(>30度)LEO衛星に比べ、バックグラウンドが低く安定しているとい う利点があった。それは何故か? (ヒント、というか答えはこちら)
・Section 4.5, Lecture note (in English)
・Section 4.4 in the Lecture note (in Japanese).
NORAD Two-Line Element Sets その中で科学衛星
主要な高エネルギー天文衛星(ISSを含む)の軌道と現在の位置 (special thanks to Isana-san))。衛星のデータを解析するときには、ざっとそ の軌道を知っておいた方が良いです。
ASTRO-Hとそのデブリの軌道 デブリにもNORAD IDが付いています。

Section 4: Mathematical methods, Statistics

Exercise 8: (2018/08/09)

Presenter: Hirade
Theme: Fast Fourier Transformation (FFT).
Problems :
1. 簡単な問題を解くことによって、離散フーリエ変換とパワースペクトルの概念を説明せよ。
2. 東大大学院天文学専攻H29年度入試問題[数学2]を解くことによって、離散フーリエ変換計算におけるFFTのメリットを解説せよ。
3. すざく衛星が観測した任意のパルサーのイベントファイルを選び、そこからパワースペクトルを計算することによって、パルサーの自転周期を求めよ。ただしbarycentric correctionは適用しなくて良い。

以下は、2005年8月22日にHXD/PINで観測されたCrab Nebulaのイベントファイルから、"powspec"でパワースペクトルを計算した例:

  powspec cfile1="ae100007010hxd_0_pinno_cl.evt.gz" window=- dtnb=1e-3 nbint=2097152 nintfm=1 rebin=0 plot=yes plotdev=/xs outfile=default
No Exercise on 2018/08/16.
Have a happy summer holiday!

Exercise 9: (2018/08/23)

Excercise 7の続き (御堂岡)。

No Exercise on 2018/08/30.

Exercise 10: (2018/09/06)

Presenter: Takeo
Theme: Quaternion and satellite attitude.
  1. 剛体回転におけるオイラーの定理、「剛体中の固定点を中心とする回転は、その点を通る軸のまわりの回転で表せる」ことを証明せよ。
  2. 四元数とはどのようなものか、説明せよ。
  3. 3つの四元数、q, q', q''があるとき、結合法則q(q'q'')=(qq')q''を証明せよ。
  4. 三次元空間におけるベクトルの回転と四元数との関係を説明せよ。
  5. 四元数は、オイラー角と同様、人工衛星の姿勢を記述する際に用いられる。オイラー角と四元数の関係を説明せよ
  6. 任意の回転行列(=3x3の直交行列)が与えられたとき、それと等価の四元数を用いて、回転軸と回転角を求めることができる。赤道座標の座標軸 (X軸が春分点、Z軸が天の北極を指す)から銀河座標の座標軸(X軸が銀河中心、Z軸が銀北極を指す)へ三回のオイラー回転で変換することができるわけだが、これを一度の回転で変換することもできる。その回転軸と回転角を求めよ(こちらの動画を参考に)。
  7. 人工衛星がある姿勢を取っている(姿勢1)。別の姿勢2に姿勢制御(attitude maneuver)するとき、最短の移動パスを取るにはどのように姿勢制御したら良いか?ただし、ここで太陽角(=太陽パネルの方向が太陽となす角)の制限は考えなくて良い。
  8. 姿勢1と姿勢2の「平均の姿勢」はどのように定義したら良いか?
・Section 4.4, Lecture note (in English)
・Section 4.3, Lecture note (in Japanese)

Exercise 11: (2018/09/13)

Presenter: Takeo
前回の残り (問題4から8)

No Exercise on 2018/09/20
JAS meeting in Himeji.

Exercise 12: (2018/09/27)

Presenter: Watanabe
Theme: F-test, Kolmogorov–Smirnov (K-S) test.
  1. F-test :
    1. F検定とはどのようなものか説明せよ。(Bevingtonの教科書 11.4節も参考に)
    2. X線天文学においてF検定が良く用いられるのは、スペクトルモデルフィッ トにおいて、フィットを良くする(=χ2の値を下げる)ために スペクトル成分を追加する(=フリーパラメータの数を増やす)際、その追加が妥当かどうかを定量的に評価する場合である。
      X線スペクトル解析に広く用いられている標準ツール"xspec"を用いてスペクトル解析を行い、その結果をもとにF検定を行ってみよう。 ここではすざく衛星によるWR140の二回の観測 (OBSID=403031010, 403032010) におけるエネルギースペクトルを用いる(コマンドファイル)。
      1. それぞれの観測において、E>5keV帯域のデータに対して、「熱制動放射モデル(APEC)のみ」と「熱制動放射+ベキ関数モデル(APEC+powerlaw)」でフィットし、χ2検定によって、それらのモデルの妥当性を評価せよ。
      2. 上記2つのフィット結果をもとにF検定を行い(xspecの"ftest"コマンドを使用できる)、ベキ関数を追加したことの妥当性を、それぞれの観測について評価せよ(=本当にWR140はベキ関数成分を放射しているのだろうか?)。
    3. (余力があれば) Protassov et al 2002, ApJ 571, 545 を読み、どのような場合、F検定が不向きか説明せよ。
  2. Kolmogorov–Smirnov (K-S) test :
    1. K-S検定とは何か説明せよ。(Numerical Recipies、 リンク 1, リンク2 などを参考に)
    2. 天文学・宇宙物理学に関して、K−S検定が用いられている例を上げよ。 (Young Stellar Objectsの例銀河面上のX線天体の例。他にも探してみてください。)

Section 5: Special Relativity, General Relativity

Exercise 13: (2018/10/04)

Presenter: Takakura
Theme: Special relativity. Aberration. Beaming effects.
  1. 1981年に初めてクェーサーからの「超光速運動」を報告した論文 ( Pearson et al. Nature, 1981, 290, 365)のアブストラクトはわずか一行、以下の通りである: "Maps of the radio structure of 3C273 show directly that it expanded with an apparent velocity 10 times the speed of light from mid-1977 to at least mid-1980." この現象を説明せよ。
  2. 上記の現象は、光を放出する物体が光速に近い速さで、観測者に向かって運動している場合に観測される。物体の速度をv、観測者の視線方向との角度をθとする。 見かけ上の速度が最大になるθとその最大速度を求めよ。
  3. 四次元座標(x, y, z, t)で表される慣性系Kと、(x',y',z',t')で表され る慣性系K'を考える。x=x', y=y'とし、K'はKに対し、z方向に等速度vで動 いているものとする。虚数iを導入し、(x,y,z,ict)と(x',y',z',ict')の間の変換式(ローレンツ変換)を4x4行列を用いて示せ。
  4. 上記で示した4x4行列が直交行列であることを示せ。
  5. ローレンツ変換を用いて、同じ時計の進み方を、KとK'で測定したときの進み方を比較せよ。
  6. ローレンツ変換を用いて、同じものの長さを、KとK'で測定したときの違いを比較せよ(ローレンツ収縮)。
  7. Kに対して+z方向に速度uで動いている物体を、K'で測定したときの速度をu'とする。ローレンツ変換を用いて、uとu'の関係を導け(速度の変換則)。
  8. 上記の状況において、v=0.9c, u'=0.9cのとき、uを求めよ。また、v≪c, u'≪cのときは、uはどうなるか?
  9. ローレンツ変換を用いて、ドップラー効果の式を導け。特に、相対論効果によって、横ドップラー効果が生じることに注意せよ
  10. パルサーから観測される周期的な変動を正確に解析するためには、人工衛星が捉えた光子の到達時刻を、人工衛星と地球の運動を補正し、太陽系重心 (barycenter)で観測した場合の時刻に補正する必要がある(barycentric correction)。その際、光行差(Abberation)の補正も必要である。光行差の式を導け。光行差のために、季節によって天体の方向は、最大どれだけ変化して見えるか?
  11. 光速に近い速度v(≈c)で運動する相対論的電子を考える。その電子が加速度運動するときの電磁放射は進行方向に強くビーミングし、広がりθは、θ ∼ 1/γで表されることを示せ(R&L section 4.8)。
  12. 宇宙現象または地上施設において、相対論的な速度で運動している荷電粒子が、その進行方向に細いビーム上に電磁波を放射している具体的な例を挙げよ。また、そのような地上施設は、国内にはどこにあるか?(兵庫県とか、茨城県とか、愛知県とか…)

Exercise 14: (2018/10/11)

Presenter: Takeo
Theme: General relativity. Observationals effect of general relativity. Global Positioning System (GPS).
  1. 今、ここで重力をなくすにはどうしたらいいでしょうか?(ヒントとなる動画 1, 動画2
  2. 仮想的に、回転していない、1太陽質量のブラックホールを考える。その シュワルツシルド半径は 2.95 kmである。(現実には≈3太陽質量より も小さなブラックホールは存在しない事に注意。)動径座標 r を、円周を2 πで割った量として定義する。 動径方向、r = 4 km から r = 5 km まで゙、巻き尺を使って直接測定したときの距離を求めよ。その値は、5km - 4km=1kmと比べて、大きいか、小さいか?
  3. ブラックホールの近傍、動径座標 r において、時間間隔 Δtで、光のパルスが放射されているとする。無限遠方において、観測されるパルス間隔はどうなるか? 特に、r がシュワルツシルド半径に極限まで近づくと、どうなるか?
  4. ブラックホールの近傍、動径座標 r において、振動数 ν の光が放出されたとする。無限遠方において、観測される振動数はどうなるか?
  5. 中性子星EXO 07481–676のX線バーストから、重力赤方偏移した鉄および酸素の吸収線が発見された (z = 0.35)。重力赤方偏移の値から、 中性子星の質量と半径の比を求め、理論から予想される値と比較せよ。(Cottam et al. 2002 Nature, 420, 51–54)。
  6. GPS (Global Positioning System) の原理を説明せよ。GPSにおいて、一般相対論による地上と衛星での時間の進み方の違いを考慮しないと、どのくらい位置を間違えるか?
  7. 重力レンズクェーサーRX J1131−1231は、視線上に存在する天体(おそら く銀河団)の強い重力レンズ効果によって、4つの像(A,B,C,D)に分割して見え る(Chartas et al. 2012, ApJ, 757, 137)。さらに、銀河団に属する銀河中の星がランダムにブラックホール(降着円盤)の前を横切る際の重力マイクロレンズ効果によって、降着円盤の一部からの光が増幅され、一部のレンズ像のみに変化が生じる。あるとき、ひとつのレンズ像から、5.50 keVと6.04 keVの輝線が観測された(Image D, Period 2)。これは、降着円盤から発せられた6.4 keVの蛍光鉄K輝線が、ケプラー回転によるドップラー効果で赤方偏移と青方偏移を受け、さらに横ドップラー効果による赤方偏移と重力赤方偏移を受けたものと考えられる。この解釈に沿って、円盤上における、鉄輝線放射領域の半径と回転速度を求めよ(文献の3.3節参照)。

Exercise 15: (2018/10/18)

Presenter: Midooka
Theme: Poisson distribution. χ2 distribution, χ2 test.
Problems :
1. Poisson distribution とχ2 distribution :定常天体を観測した時、光子数の分布はポアソン統計に従うことが知られている。
1-1. ポアソン分布の平均と分散を求めよ。(海老沢ノート4:10.1節)
1-2. ポアソン分布(平均μ)と正規分布(平均μ、分散μ)を比較し、μがいくつを超えると、ポアソン分布は正規分布で近似できるか説明せよ。
1-3. ある確率変数 x が平均μ 、標準偏差σの正規分布に従うとす る。これから、自由度Nのカイ二乗分布に従う確率変数を作れ。
1-4. 自由度Nのカイ二乗分布の平均は何か。

2. Root Mean Square (RMS)spectrum
2-1. 天体のエネルギーバンド毎の変動を調べるときによく用いられるRoot Mean Square (RMS)spectrum とはどういうものか、説明せよ。
2-2. ある銀河系内ブラックホール天体を2-10 keVのエネルギー範囲で観測し た。エネルギーバンド毎のRMSスペクトルを調べてみたところ、6.4 keV 付近 で大きく下がっていた。これを物理的に解釈せよ ( こちらの論文の図3)。
2-3. 多くのAGNのRMSスペクトルにおいて、1 keV付近にピークがあることが知られている。これを物理的に解釈せよ (こちらの論文の図8,9,10)。

3. χ2 test :
3-0. 仮説検定で用いられる、p 値とは何を表すか説明せよ。
3-1. カイ二乗検定の検定方法を説明せよ。(海老沢ノート4:10.5節; Lampton et al. 1976) 
3-2. X線天文学でよく使用されるスペクトル解析ツールxspecを用いてモデルを仮定してデータをフィットし、モデルの妥当性を判定する。また、フィット結果から、モデルパラメータの値とそのエラーを見積もってみる。
3-2-1. 簡単なモデル、星間吸収を受けたべき関数(wa*power)でデータをフィットし、このモデルが妥当かどうか、判定せよ。
3-2-2. 3つのパラメーター(水素柱密度、べき、べき関数の規格化定数)それぞれのベストフィットの値と、90%エラー範囲を求めよ。
3-2-3. これら3つのパラメーターは相関している。相関しているふたつのパラメーターの組について、χ2のコントアを描くことによって、90 %エラー領域を求めよ。(あすか解析マニュアルを参考に)

Exercise 16: (2018/10/25)

Presenter: Midooka

Section 6: Radiative Transfer, Blackbody Radiation

Exercise 17: (2018/11/01)

Presenter: Watanabe
Theme: Basic of radiation transfer. Optical depth.
Tasks: Understand and explain Ebisawa Lecture Note 1, section 5.1 and 5.2 (Japanese version, section 6.1 and 6.2)
Explain the meaning of "effective optical thickness of the medium", τ* (R&L, section 1.7).
  1. 光学的厚みτとはどのようなものか、説明せよ。その単位(次元)は?
  2. 光学的厚みを、以下の物理量を組み合わせて、4通りのやり方(考え方)で表せ: 物質の厚さ、吸収係数、質量吸収係数、密度、吸収断面積、柱密度、平均自由行程。
  3. 平均自由行程と吸収係数の関係を示せ。
  4. 物質中で光子が吸収されずにτ進む確率を示せ。光子が進む光学的距離の平均を求めよ。
  5. 源泉関数 (source function) Sν、光学的厚みτを持つSlabを考える。このSlabに垂直に、Iν(0)の輻射が入力したとき、 輻射輸送の式を解いて、出力される(観測される)輻射Iν(τ)を求めよ。
  6. Slabが光学的に厚いとき(τ >> 1)、Iν(τ)はどうなるか?
    1. 特に、熱的輻射の場合、何が観測されるか?このような天体の例を示せ。
  7. Slabが光学的に薄いとき(τ <<1)、Iν(τ)はどう書けるか?
    1. 入射する輻射がなく、ある波長においてのみ(τ >> 1)が大きいときには、何が観測されるか?このような天体の例を示せ。
    2. 入射する輻射が強く、ある波長においてのみ(τ >> 1)が大きいときには、何が観測されるか?このような天体の例を示せ。
  8. 光子が物質の中で吸収されず、散乱だけを受ける場合を考える。散乱の光学的厚みがτsの物質中で光子が受ける平均散乱回数Nはどう書けるか?
  9. 物質中で、散乱と吸収の両方が起きる場合を考える。その物質の吸収に対する光学的厚みをτa 散乱に対する光学的厚みをτsとする。 このとき、"effective optical depth"、τ*はどう定義されるか?その物理的意味を説明せよ。

Section 7: Astronomical Topics

Exercise 18: (2018/11/08): from 17:30-19:00

Grad students are suggested to attend the special space science seminer from 16:30-17:30

Presenter: Tominaga
Theme: Accretion disk. Emission from optically thick accretion disk.
  1. 横軸を降着円盤の面密度、縦軸を縦軸を質量降着率としたとき、降着円盤の解曲線はどのような形になるか?そのうち、どの部分が安定で、どの部分が不安定か?解曲線上の位置と、X線または他の波長による降着円盤の観測との関係を述べよ。
  2. 1970年代に提案された標準円盤モデルとは、どのようなものか?標準円盤モデルにおいて、粘性係数(α)の定義とその物理的解釈を述べよ。
  3. 最新の降着円盤の研究によると、粘性の物理機構が明らかになり、粘性係数を仮定せずに第一原理から計算することが可能になっている。その物理機構とは何か?
  4. ガス圧優勢の円盤を考えた場合、熱エネルギーと重力ポテンシャルエネルギーの比が、円盤の幾何学的厚みと関係していることを説明せよ。
  5. 降着円盤の各リングが半径に応じた温度の黒体放射をしている場合、温度の半径依存性はどう書けるか?移流(advenction)が存在する場合は、その関係はどうなるか?
  6. 内縁半径rin、内縁温度Tinで、各リングが半径に応じた温度の黒体放射をしている降着円盤のエネルギースペクトルは、どのような形で書けるか?ただし、内縁の境界条件を無視して良い。
  7. 上記の場合、降着円盤の光度をrinとTinの関数として求めよ。
  8. 幾何学的に十分薄い降着円盤の光度は、エディントン光度を超えないこと を示せ。また、光学的に厚いまま、幾何学的に厚くなると(スリムディスク)、 エディントン光度1を超えることができることを示せ。
  9. エディントン光度で光っている光学的に厚い円盤の内縁温度を、中心天体の質量の関数として示せ。中心天体の質量が大きくなると、温度は上がるか、下がるか?
  10. 東大大学院天文学専攻H24年度入試問題[天文学1](問2)を解説せよ。

No Exercise on 2018/11/15

Exercise 19: (2018/11/22)

Presenter: Ebisawa
Theme: Blackbody radiation.
  1. Understand and explain Ebisawa Lecture Note, section 5.3 (Japanese version, section 6.3)
  2. Estimate the number density of the Cosmic Mirowave Background (CMB) photons,where T=2.725 K?
  3. Extremely high-energetic cosmic-ray protons interact with the CMB photons, where the pion-production cross-section is ~10-28cm2. Estimate the mean-free-path of such cosmic-ray protons. What is the implication of this?
  4. Compare the cases when the Planck function is expressed in terms of the frequency and the wave-length. Understand that the peak frequency and the peak wave-length are different.
  5. Explain the meanings of color temperature, effective temperature, and brightness temperature.
  6. If you do not take into account the difference between the color temperature and effective temperature in X-ray data analysis, what kind of mistakes you might make?

No Exercise on 2018/11/29

Exercise 20: (2018/12/06)

Presenter: Watanabe
Theme: Cosmic X-ray background (CXB). Log N-Log S. Galactic Ridge X-ray Emission (GRXE).
  1. CXB: CXBの存在はX線天文学の初期の時代から知られていた。その起源は真に拡がった放射なのか、暗い点源の重ね合わせなのか、長年議論が続いていたが、ChanraやXMMによる深観測で、CXBのほぼすべてが点源に分解された。東大大学院天文学専攻H26年度入試問題[天文学1]を解説せよ。
  2. GRXE: 銀河面上に一様に拡がったように見えるGRXEの存在が、1970年代から知られていた。てんま衛星はGRXEから鉄K輝線を発見し、すざく衛星はその輝線を三本に分解した。GRXEの多くは点源の重ね合わせであることはわかっているが、一様に拡がった成分の寄与がどれだけかは、まだ明らかになっていない。l=28.5度の方向を観測したとき、GRXE中の6.4 keV鉄輝線の強度は、~0.26 photons/s/cm2/strであった。これがすべてmagnetic CVからの6.4 keV鉄輝線からの重ね合わせで説明できるかどうか、検討せよ(文献の4.2を参照)。

No Exercise on 2018/12/13

Exercise 21: (2018/12/20)

Presenter: Midooka
Theme: Cosmic rays, Shocks, Fermi acceleration.
  1. 高エネルギーの宇宙線を考える。そのジャイロ半径を、宇宙線エネルギーと磁場の関数として見積もれ。(Ebisawa 2006 note, 式4.2)
  2. 上式を用いて、~10 GeVより低エネルギーの宇宙線は、地磁気に弾かれて地球大気に突入できないことを示せ。
  3. X線天文衛星データを解析する際に、軌道上の粒子バックグラウンドの強度の指標となる "Cut-off Rigidity (COR)" を説明せよ。
  4. 銀河系内宇宙線の加速源として、超新星残骸が考えられている。
    4-1. 銀河系内の宇宙線エネルギー収支から、「銀河系内宇宙線の超新星残骸起源説」が妥当であることを説明せよ。
    4-2. しかし、超新星残骸では>> 1016 eVまでは宇宙線を加速できないことを示せ。
  5. >> 1017 eVの超高エネルギー宇宙線は銀河系外起源と考えられている。
    5-1. その理由を述べよ。
    5-2 銀河系外で発生した>> 1020 eVより高エネルギーの宇宙線は、地球まで届かないと考えられている(GZKカットオフ)。その理由を述べよ。
    5-3. 発生起源は謎だが、~1020 eVの超高エネルギー宇宙線の観測が、数例報告されている。それは1つの粒子、おそらく陽子である。時速100 kmで跳んでいる~100 gの野球のボールを考えよう。ボールに含まれる陽子の数とボールの運動エネルギーを見積もり、それを~1020 eVの超高エネルギー陽子と比較せよ。
  6. 超新星残骸のシェルでは衝撃波が発生していると考えられている。荷電粒子が磁場によって閉じ込められ、衝撃波面の上流と下流(速度差がV)を行き来する場合を考える。
    6-1. 粒子が分子雲と正面衝突だけを繰り返す場合、一回の衝突あたりの粒子の平均エネルギーゲインΔE/EはV/cに比例することを示せ (第一フェルミ加速)。 (Ebisawa 2006 note, 式4.9)
    6-2. 粒子が正面衝突と追衝突をランダムに繰り返す場合、一回の衝突あたりの粒子の平均エネルギーゲインΔE/Eは(V/c)2に比例することを示せ (第二フェルミ加速)。 (Ebisawa 2006 note, 式4.10)
    6-3. 超新星残骸中のフェルミ加速によって加速された粒子のエネルギースペクトルが、dN/dE ∝E-2と近似できることを示せ。 (Ebisawa 2006 note, 式4.17)
    6-4. 加速された電子が上記のようなエネルギースペクトルを持ち、シンクロトロン放射または逆コンプトン放射で光子を放射するとき、光子のエネルギースペクトルはどのような形になるか? (2017年第18回の問題6参照)

Exercise 22: (2018/12/27)

Presenter: Midooka
Theme: 前回の続き

Have a happy winter holiday!
No Exerecise on 2019/01/10 (宇宙科学シンポジウム)

Exercise 23: (2019/01/17)

Presenter: Takakura
Theme: On "Time"
  1. 良く用いられる以下の時刻系(Time and Date Systems)を説明せよ:JD, MJD, TJD, TT, TAI, UTC, TDB
  2. 「うるう年」と「うるう秒」は、何のために、どのような状況で導入されるか?
  3. 人工衛星が取得した、パルサーなどの天体データに精密なタイミング解析を実施する際には、地球と人工衛星の運動を補正するために、装置が記録した光の到達時刻(photon arrival time)を、太陽系重心(barycenter)における到達時刻に直す必要がある(barycentric correction)。ここでは、「あすか」衛星が観測したCrab Pulsarのデータにbarycentric correctionを適用することを考える。
    3.1 SIMBADによるとCrab pulsarの正確な座標は、(05 34 31.93830 +22 00 52.1758) である (J2000)。DARTSの検索結果からわかるように、あすかによるCrab pulsarの観測は、4月始めと9月後半(10月始め)に集中している。Crab pulsarの位置と「あすか」衛星の構造(+Z軸が観測方向、+Y軸が太陽パネル方向)から、その理由を説明せよ。
    3.2 1993年4月6日の観測 (ID:10010000) と 1993年9月28日の観測(ID:10010120)を考える。(wget -nv -m -np -nH --cut-dirs=3 -R "index.html*"でデータをダウンロードできる。)
    そこから得られるGISのイベントファイルについて、衛星軌道ファイル(frf.orbit.253.gz)を用いて、あすか用barycentric correctionツール "timeconv"によって、 以下のコマンドでbarycentric補正を行うことができる (TDBで1993年当初からの経過秒に変換する場合)。
       timeconv infile=ad10010000g200370h.evt timeop=2 ra=83.63308 dec=22.01450  frforbit=frf.orbit.253.gz
       timeconv infile=ad10010120g200170h.evt timeop=2 ra=83.63308 dec=22.01450  frforbit=frf.orbit.253.gz
    それぞれの観測について、元のイベントファイルとbarycentric補正後のイベントファイルの最初の100イベントを示す (イベント到達時刻のみが変わっていることに注目)。
      10010000.barycen.txt, 10010000.original.txt
      10010120.barycen.txt, 10010120.original.txt
    太陽系重心から見たCrab pulsarの方向と二回の観測時の地球の位置を考慮し、ここで得られた二つのbarycentric補正の結果を1秒の精度で確認せよ。(注:この精度では人工衛星の位置を考慮する必要はない。)

No exercise on January 24.

Exercise 24: (2019/01/31)

Presenter: Takakura
Theme: On "Time" (continued)
3.3 HEASoftのASCAパッケージに含まれているtimeconvのソースコード (Makefile, asca_barycen.f, asca_geocen.c, htimeconv.c, timeconv.f, を理解して、上記のbarycentric補正の結果を正確に確認せよ。(注:ここで、asca_barycen.f, timeconv.f, asca_geocen.cについては、プロセスを追うためのコメントを出力するよう修正している。 $HEADAS/../ftools/asca/src/timeconvにて、hmake とすると、これらのコードがコンパイル、hmake installとするとインストールされる。)
4. 人工衛星データの解析をするとき、うるう秒を考慮しないと、間違った結果が得られてしまう。たとえば、数年間に亘ってうるう秒を考慮することを忘れていると、数秒ずれた軌道や姿勢を解析に使うことになる。それが実際のデータ軌跡に影響を与えた例を示せ(軌道に影響を与えた例姿勢に影響を与えた例)。
4.1 上の「うるう秒を考慮せずに軌道に影響を与えた例」でが、光子の到来時刻がどのくらい変わるか、見積もれ。
No Exerecise on 2019/02/07 (東大修論発表会)

Section 8: Radiation Processes

Exercise 25: (2019/02/14)

Presenter: Watanabe
Theme: Atomic structure. Selection rules. Spectral terms.
  1. Explain atomic structure and atomic processes using figures in p.4-6 in "Astro-H cook book” .
  2. Explain Atomic processes using the figure in p.7.
  3. Explain fine structure and selection rules (p.8-p.9) in the cook book.
  4. Solve R&L Ploblems 10.1.
  5. Solve R&L Ploblems 10.2.

No exercise on February 21 and 28. Have a happy early-spring vacation!

Exercise 26: (2019/03/07)

Presenter: Midooka
Theme: Interaction between photons and matter. Photoelectric absorption. Photoionization. ξparameter. Fluorecent emission line, Fluorecent yield.

No Exerecise on 2019/03/14 (日本天文学会春季年会)
No Exerecise on 2019/03/21 (春分の日)

Exercise 27: (2019/03/28)

Presenter: Takeo
Theme: Absorption line profile. Voigt function. Curve of growth. P-Cygni profile.
  1. 現在、多くのAGNやX線連星系から高電離した鉄のK吸収線が6.7 keV (He-like) または7.0 keV (H-like) に観測されている。しかし、明るいX線連星系からはっきりと鉄吸収線を確認したのは、 1993年に打ち上げられた「あすか」衛星が初めてである。
  2. X線連星系のエネルギースペクトル中に鉄吸収線が観測されるために系が満たす条件を示せ。(参考文献の最後のあたり)
    2-1. 吸収線のプロファイルを表わすVoigt関数とはどういうものか、説明せよ。(R&Lの式10.77)
    2-2. 吸収線が強く(深く)なるにつれて、吸収線プロファイルはどのように変化していくか? (ロチェスター工科大学の先生のページを参考に)
  3. あすか衛星搭載のCCDカメラが、GRS1915+105より、He-likeの鉄およびH-likeの鉄K吸収線を観測した。 (参考文献:Kotani et al. 2000 Kotani et al. 2006)
    3-1. 成長曲線(Curve of Growth)を用いて、観測された鉄吸収線の等価幅から鉄の柱密度に制限を付ける方法を説明せよ。
    3-2. 実際には、成長曲線を用いて、等価幅だけからは柱密度は決まらない。等価幅以外に、吸収プラズマについて、どの物理量が必要か?
    3-3. その物理量を決定するには、将来的に、どのような観測が必要か?
  4. P-Cygniプロファイルが観測されるのはどのような場合か?
    4-1. X線領域において、P-Cygniプロファイルが観測された例を複数あげよ。(中性子星連星の例SSS[白色矮星連星系]の例同じSSS。)
    4-2. X線スペクトル中にP-Cygniプロファイルが観測されたとき、星風の速度が一定と仮定して、スペクトルをフィットして輝線の等価幅、吸収線の等価幅、星風の速度を求めるモデルを作成せよ。(解答例


  1. Ebisawa lecture note1 (2016 Univ. of Tokyo, graduate school, in English)
  2. Ebisawa lecture note2 (2011 Univ. of Tokyo, graduate school, in Japanese)
  3. Ebisawa lecture note3 (2006 Univ. of Tokyo, graduate school, in Japanese)
  4. Ebisawa lecture note4 (2007-2010 Univ. of Tokyo, undergraduate, in Japanese)
  5. "Radiative Processes in Astrophysics", G. B. Rybicki, A. P. Lightman (Wiley) (R&L)
  6. "High Energy Astrophysics", Katz, out of print , but the pdf is freely available.
  7. "Handbook of X-ray astronomy", (Cambridge University Press)
  8. "High Energy Astrophysics", Longair (Cambridge University Press)
  9. "Black‐Hole Accretion Disks:Towards a New Paradigm", Kato, Fukue and Mineshge (Kyoto Univ. Press)
  10. "Atomic spectra and atomic structure", Herzberg
  11. "Classical Mechanics", Goldstein
  12. "Electrodynamics", Jackson
  13. "Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity", Taylor, Wheeler GPSの説明はこれを参考にしました。
  14. シリーズ現代の天文学8、ブラックホールと高エネルギー現象(日本評論社)
  15. シリーズ現代の天文学17、宇宙の観測(3)、高エネルギー天文学(日本評論社)
  16. 「人工衛星の力学と制御ハンドブック―基礎理論から応用技術まで」 姿勢制御研究委員会
  17. 「ハミルトンと四元数」 堀源一郎 (海鳴社)
  18. 「宇宙線」 小田稔 (裳華房)
  19. "Astrophysics I, II", Richard Bowers and Terry Deeming, Jones and Bartlett Publishers Inc.
  20. Numerical Recipes, Cambridge University Press (ニューメリカルレシピ・イン・シー 日本語版)
  21. "Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences" Bevington and Robinson, McGraw-Hill
  22. "Astro-H cook book"