人工衛星の軌道、惑星の軌道

地球の周りの人工衛星の軌道や、太陽のまわりの惑星の軌道を考えてみよう。以下で、$m$は人工衛星または惑星の換算質量、$\bm{r}$は、 地球中心に相対的な人工衛星の位置、あるいは太陽に相対的な惑星の位置を示す。

まず、運動方程式をたてる。

$$m \frac{d^2 \bm{r}}{dt^2} = \bm{F}$$ (198)

であるが、動径方向の単位ベクトル${\bm e_r}$とそれと直交する単位ベクトル ${\bm e_\theta}$を基底する極座標で考える。惑星の速度ベクトルは $d {\bm r}/dt = d (r {\bm e_r} )/dt = \dot r {\bm e_r} + r \dot {\bm e_r} = \dot r {\bm e_r} + r \dot \theta {\bm e_\theta}$ で表される。さらにそれを微分して、

$$d^2 {\bm r}/dt^2 = (\ddot r - r \dot \theta^2){\bm e_r} + (2 \dot r \dot \theta + r \ddot \theta) {\bm e_\theta}$$ (199)

よって、運動方程式を動径方向、角度方向に分解して書きくだすと、それぞれ、

$$m (\ddot r - r \dot \theta^2) = -\frac{GMm}{r^2}$$ (200)

$$m (2 \dot r \dot \theta + r \ddot \theta) = 0$$ (201)

となる。(194)を用いて、(201)は

$$\frac{1}{r}\frac{dh }{dt} =0$$ (202)

と書ける。これはまさに角運動量保存則に他ならない。

また、(200)は、やはり(194)を用いて、

$$m \ddot r - \frac{h^2}{mr^3} = -\frac{GMm}{r^2}$$ (203)

とかける。 $\dot r =dr/dt=v_r$ であることに注意して、上式を積分する。

$$m \frac{d v_r}{dt} - \frac{h^2}{mr^3} = -\frac{GMm}{r^2}$$ (204)

$$m \frac{d v_r}{dt} dr - \frac{h^2}{mr^3} dr = -\frac{GMm}{r^2} dr$$ (205)

$$m \int v_r d v_r - \int \frac{h^2}{mr^3} dr = -\int \frac{GMm}{r^2} dr$$ (206)

$$\frac{m}{2} v_r^2 + \frac{h^2}{2m r^2} = \frac{GMm}{r} + E$$ (207)

$$\frac{m}{2}(v_r^2 + v_\theta^2) - \frac{GMm}{r} = E.$$ (208)

ここで、積分定数を$E$とした。 これは、エネルギー保存則に他ならない。

　 ここで(194)から、

$$\frac{d}{dt} = \frac{d \theta}{d t} \frac{d}{d \theta} =\frac{h}{mr^2}\frac{d }{d \theta}.$$ (209)

よって、独立変数を時刻$t$から$\theta$に変換して(207)は、

$$\frac{m}{2}\left(\frac{h}{mr^2} \frac{dr}{d\theta}\right)^2 +\frac{h^2}{2mr^2} - \frac{GMm}{r} = E$$ (210)

と書ける。 この微分方程式が$r$と$\theta$の関係を与えるので、$r$を$\theta$の関数として求めれば、惑星の軌道が求められたことになる。 ここで、$1/r = u$と変数を変換すると、以下のように変形できる。

$$\frac{h^2}{2m}\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2 +\frac{h^2 u^2}{2m} - GMmu = E,$$ (211)

$$\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2 + \left(u - \frac{GMm^2}{h^2}\right)^2 - \frac{G^2M^2m^4}{h^4} = \frac{2mE}{h^2},$$ (212)

$$\pm \frac{du}{ \sqrt{\frac{2mE}{h^2} + \frac{G^2M^2m^4}{h^4} - \left(u - \frac{GMm^2}{h^2}\right)^2}} = d\theta.$$ (213)

ここで積分公式、 $\int dx/\sqrt{a^2-x^2} = \cos^{-1} (x/a)$を用いて、

$$\pm \cos^{-1} \frac{u - \frac{GMm^2}{h^2}}{\sqrt{\frac{2mE}{h^2} + \frac{G^2M^2m^4}{h^4}}} = \theta.$$ (214)

よって、

$$r = \frac{\frac{h^2}{GMm^2}}{1+ \sqrt{1 + \frac{2Eh^2}{G^2M^2m^3}}\cos \theta}.$$ (215)

ここで、

$$l \equiv \frac{h^2}{GMm^2},$$ (216)

$$e \equiv \sqrt{1 + \frac{2Eh^2}{G^2M^2m^3}}$$ (217)

と定義すれば、 (215)は、

$$r = \frac{l}{1+ e \cos \theta}.$$ (218)

と書ける。これは原点(太陽または地球)を焦点の一つとする円錐曲線の式で、$e$は離心率、$l$は半直弦と呼ばれる。 円錐曲線は、円錐を任意の断面で切ったときの断面の形で、楕円($e<1$)、放物線($e=1$)、双曲線 ($e>1$)、のいずれかである。 下図に、異なる離心率の円錐曲線の例を示す。 　　　

実際に太陽の周りの惑星(彗星)や地球の周りの人工衛星(探査機)の軌道も、楕円、放物線、双曲線のどれかである。 (217)より、離心率$e<1,e=1,e>1$はそれぞれエネルギー $E<0,E=0,E>0$に対応している。すなわち、 全エネルギー$E$が負のときは、人工衛星は地球の重力に束縛されて、地球の周りを楕円軌道を描いて周回する(ケプラーの第一法則)。 運動エネルギーが増加するにつれ、離心率が大きくなり、やがて軌道は放物線となり、人工衛星は地球の重力圏を 脱出する。無限遠でエネルギーはゼロになる。さらに運動エネルギーが大きい場合は、双極線軌道になり、無限遠でも 正のエネルギーを持つ。