楕円軌道

楕円は、二つの焦点からの距離の和が等しい点をつなげたものである。下図のように長半径を$a$、短半径を$b$とする。 楕円の面積は$\pi ab$で与えられる。

$\theta=0$の点がA,$\theta=\pi/2$の点がQ,$\theta=\pi$の点がCである。 右側の焦点、$F$からの距離を考える。Aが近日点、Cが遠日点である。

下図と(218)より、 $r_A=l/(1+e),r_Q=l,r_C=l/(1-e)$。よって、

$$r_A + r_C =2 a = l/(1+e) + l/(1-e) = 2l/(1-e^2).$$ (219)

これから、長半径は

$$a = l/(1-e^2)$$ (220)

と書けることがわかる。よって、

$$r_A = \frac{l}{1+e}=a\frac{1-e^2}{1+e}=a(1-e)$$ (221)

だから、下図に書いてあるとおり $OF=a-a(1-e) =ae$である。

次に短半径を$a$と$e$で表わす。楕円の定義より、$BF+BF'=FA+F'A$である。

$$BF+BF'= 2 \sqrt{a^2e^2 + b^2}, FA+F'A = a(1-e)+2ae +a(1-e)=2a.$$ (222)

よって、

$$b^2 = a^2(1-e^2)=al.$$ (223)

ここで、(220)を使った。

(216),(217)と(220)より、

$$a = -GMm/2E.$$ (224)

つまり、 軌道長半径は、エネルギー$E$だけで決まる。 同様に、(223)と(216)を使って、

$$b^2 = -h^2/2Em.$$ (225)

これら二つの式は、$M,m,E,h$が与えられらば、一意的に$a,b$、つまり楕円軌道が決まることを表わしている。