ケプラーの第三法則

楕円の長半径を$a$、短半径を$b$としたとき、その面積は$\pi ab$で与えられる。角運動量を $h$、天体の質量を$m$とするとすると、面積速度は$h/2m$である。よって、天体の公転周期$T$は、

$$T = \frac{\pi a b}{h/2m}.$$ (226)

である。ここで、(223)と(216)を使って、 $b=\sqrt{al}=\frac{h}{m}\sqrt{\frac{a}{GM}}$だから、

$$T = \frac{2 \pi a^{3/2}}{\sqrt{GM}}.$$ (227)

これが、「惑星の公転周期の二乗が軌道長半径の三乗に比例する」、というケプラーの第三法則 である。