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X-ray Astronomy Exercises (X線天文学演習) in 2019

Ken Ebisawa (ISAS/JAXA, ebisawa AT isas.jaxa.jp) and Yasuharu Sugawara (sugawara.yasuharu AT jaxa.jp)

Overview

Method

We intend to use white-board more than projector, since it is important to understand things by manipulating hands. Participants are expect to bring calculator as well as note and pen. We expect students to make calculation and take notes by hand through the lecture. Working language is Japanese and/or English, so that all the participants can understand.

Time and Location

Web access

Section 1: Basic Physics and Astrophysics

Exercise 1: (2019/05/09)

1. What are the three most basic physical parameters of the universe?
   
2. Indicate that the dimension of "length", "mass", "time" can be reproduced from these three parameters. What are the meaning of these values?
   
3. In which physical theories, which of the three parameters appear? Are there physical theories in which all the three parameters appear? What is the implication of this fact?
   
4. Obtain the relationship between the Planck length and the Planck mass. Compare the Planck length with the Schwarzschild radius of a particle having the Planck mass.
   
5. Let's assume that we detected a gravitational-event due to a blackhole merger, where amplitude of the gravitational wave is 10^-21. How much the distance between Sun and Earth (1 astronomical unit) varies due to this gravitational event? Answer with the unit of Bohr radius.
   
6. Consider X-rays with the energy E [keV] and the wavelength λ [A]. Obtain the relationship between λ and E.
   
7. Express Coulomb's law in the MKSA unit and Gauss unit.
   
8. What is the dimension of electric/magnetic charge in the Gauss unit?
   
9. Express the light-velocity c using the vacuum permittivity ε₀ and the vacuum permeability μ₀.
   
10. Express Maxwell equations in the MKSA unit and the Gauss unit.
    
11. Indicate the relation between the magnetic energy density ε and the magnetic flux density B. Use both Gauss unit, where ε is in [erg/cm³] and B is in [gauss], and MKSA unit, where ε is in [J/m³] and B is in [T]. Examine that both agree.
    
    • A memo on the magnetic field density expressed in differnt units (pdf, latex)

Exercise 2: (2019/05/23)

1. light velocity
2. 1 A.U. in light-seconds (together with the definition of A.U.)
3. 1 year in seconds
4. 1 parsec (together with the definition of parsec)
5. 1 eV corresponds to approximately ** [K] or ** [erg]
6. Boltzmann constant k.
7. Electron mass (in keV).
8. Approximate nucleon (=proton or neutron) mass (in MeV or GeV). Which is heavier, proton or neutron?
9. Schwarzschild radius of a star with mass M. What is the Schwarzschild radius of Sun and Earth?
10. Eddington luminosity of a star with mass M. Derive this equation, and indicate Eddington luminosity of a solar-mass star.
11. Stephan-Boltzmann constant σ in [erg/s/cm²/keV⁴]
    1. Using above, what is the luminosity of the blackbody emitting neutron star at 2 keV with the radius 10 km?
    2. What is the blackbody temperature of a white-dwarf shining at the Eddington limit with the radius 5000 km?
12. Fine structure constant (both formula and value).
13. ℏ c
14. Classical electron radius r₀ (formula and value)
15. Thomson scattering cross-section σ_T=8/3 π r₀².
16. Thomson scattering opacity (assuming only hydrogen) κ_T in [cm²/g]
17. Bohr radius (both formula and number)
18. Lyman edge energy (both formula and number in eV)
19. Lyman edge energy (in keV) of heavy atoms with the atomic number Z.
20. Formula of cyclotron energy in the magnetic flux density B.
21. Using the value of Bohr magneton ℏ e/(2m_ec) = 9.3e-21 [erg/gauss], derive the relation between the energy of cyclotron absorption line [keV] and B [gauss].

Exercise 3: (2019/06/06)

1. In Newtonian mechanis, obtain the radius of a star with mass M, where the escape-velocity is equal to the light velocity. Compare this with the Schwarzschild radius.
   
2. Obtain light-crossing time of Schwarzschild radius of a star with mass M.
   
3. Estimate apparent size of a black hole, dividing the Schwarzschild radius by the distance to the source. Which is easier to "resolve", stellar black hole in our Galaxy, or super-massive black holes in other galaxies?
   
4. Innermost Stable Circulr Orbits (ISCO) of non-rotating blackhole (Schwarzschild black hole)? What about a spinning black hole at the maximum rate (extreme Kerr black hole)?
   
5. Estimate spatial resolution of an radio interferometer at 1mm, where the base-line is 10,000 km (=maximum on Earth). Also, estimate spatial resolution of an X-ray interferometer at 1 A, with the base-line is 20 m. Which has better spatial resolution?
   
6. According to General Relativity, "Photon-capture radius" of a black hole is √27 r_g, where r_g is the gravitational radius (=GM/c²). In 2019, the Event Horizon Telescope observed a bright photon "ring" around central blackhole M87 (distance = 16.8 Mpc), where the diameter was 42 µas. By identifyng the ring radius as the photn-capture radius, estimate the black hole mass.
7. Assume that black hole is a sphere having the Schwarzschild radius (ignore General relativistic effects). Estimate "density" of the black hole, simply dividing the mass by the volume. Is the density smaller or larger for more massive black holes? Can the black hole density smaller than that of water? If yes, when?
   
8. Ignoring general relativity, estimate total energy E (potential energy + kinetic energy) of a mass m rotating at the ISCO around a black hole with mass M. Consider the Schwartzshild case and the extreme-Kerr case. Compare with the precise values using general relativity.
   
9. When the mass m reaches the ISCO from infinisty (where the initial velocity is assumed to be zero), the energy -E is released. What will be the energy conversion efficiency, η, where -E = ηmc²? Compare with the efficiency of hydrogen nuclear burning.
   

1. Maximum mass of a white-dwarf (Chandrasekhar limit).
   
2. Typical mass and radius of a white-dwarf?
   
3. Are heavier white-dwarfs larger or smaller in size? What about neutron stars?
   
4. Typical mass and radius of a neutron star?
   
5. Theoretical maximum mass of a neutron star (≈ minumum mass of a black hole)?
   
6. Central density of a neuron star?
   
7. Typical magnetic field of an X-ray pulsar (in gauss)? What about extremely strongly magnetized pulsars (magnetors) ?
   
8. Maximum known mass of "stellar" black holes? (See these article and paper by LIGO collaboration)
   
9. Mass of the black hole in the center of our Galaxy (Sgr A*)? (A latest result)
   
10. Maximum known mass of super-massive black holes (AGN, quasars)?
    

1. X-ray energy spectrum (in ~1-30 keV) of Crab nebula in [photons/s/cm²/keV]. How many photons do you expect to detect at 1 keV per 1 sec per 1cm²?
   
2. Using above, 1 Crab is ** erg/s/cm² in 2 - 10 keV.
   
3. Typical interstellar density (how many hydrogen atoms per cm³)?
   
4. Using above, typial hydrogen column density at 1 kpc in the Galactc plane?
   
5. Typical interstellar magnetic field strigns (in gauss)? What about the magnetic energy density [in eV/cm³]?
   
6. Energy density of cosmic microwave background [in eV/cm³]?
   
7. Typical cosmic-ray energy density in the Galactic plane [in eV/cm³]?
   
8. Indicate relationship of interstellar hydrogen column density and interstallar extinction in V, J and K bands. Is exitnction stronger or weaker for longer-wavelength?
   
9. Amount of inter-stelllar dust to reduce the observed stellar flux by 1 magnitude has the optical depth of ***.
   
10. Estimate inter-stellar hydrogen column-density which becomes opaque (τ ≈1) in the K-band.
    
11. Estimate inter-stellar hydrogen column-density which becomes opaque at 1.5 keV. Compare with above.

References:
Lecture Note 1, section 2.2 and 2.3.

Section 2: Astronomical Coordinates/Time, Coordinate/Time Transformation

Exercise 4: (2019/06/13)

1. 赤道座標、銀河座標、黄道座標の定義を述べよ。赤道座標系について、 B1950, J2000, ICRSの違いを説明せよ。
   
2. 地球の歳差運動とはどのようなものか、説明せよ？
   
3. 北天で一つ、南天で一つ、好きな天体を決めて、その座標の赤道座標 （B1950、J2000)、銀河座標、黄道座標を示せ （Coordinate Converter などのツールを使って良い）。 これらの座標を「度」と「時分秒（度分秒）」という表記で示し、表記間の換算方法を説明せよ。
   
4. これらの天体を地上から可視光で観測する場合を考える。大体どの地域の 天文台から、どの季節に観測したら良いか？ (このようなツールを使うと便利。)
   
5. 地上から電波で観測する場合はどうなるか？
   
6. スペースから人工衛星で観測する場合は、同じ天体でも人工衛星の構造（設計）によって観測できる季節が異なる。それはなぜか？
   
7. Crab Nebula (alpha=83.63, delta=22.01; lambda=84.10, beta=-1.29) は夏至点の方向にあるが、ほとんど光度が変化しない標準光源として、 各X線天文衛星が定期的に観測している。
   てんま衛星は年に一回、12月(冬至）頃に、いっぽう、 ぎんが、 あすか、 すざくでは、年に二回、3月(春分)頃または9月(秋分)頃にCrabを観測し ている。その理由は何か？
8. 赤道座標<-->黄道座標の変換に用いられる変換行列、および赤道座標<--> 銀河座標の変換に用いられる変換行列がどうやって導かれるか、説明せよ。（こちらのアニメーションを参考に。）
   
9. これらの変換行列は3x3の直交行列である。3x3の直交行列の特徴を4つ述べよ。
   
10. 得意なプログラミング言語を用いて、赤道座標、黄道座標、銀河座標の間の座標変換を行うプログラムを作成せよ。
    
11. (応用問題；もし余裕があれば) 横軸を赤経（0度から360度）、縦軸を赤緯（-90度から90度）とした平面上 に、銀経、銀緯のグリッド（格子）、および黄経、黄緯のグリッドを描くプ ログラムを作成せよ。( こんな図を作ってください。 pgplotを使っ てこの図を作っ たFortran プログラム)
    

Exercise 5: (2019/06/20)

1. このような人工衛星の模型を用いて、オイラー角と人工衛星の姿勢の関係を説明せよ。
   
2. 第一オイラー角φ、第二オイラー角θと 観測ターゲットの赤経、赤緯（α、δ）の関係を述べよ。
   
3. 第三オイラー角ψとロール角の関係を示し、なぜそうなるかを説明せよ。
   
4. 黄北極 (North Ecliptic Pole; NEP)、黄南極 (South Ecliptic Pole; SEP)は、どの季節でも観測できる。春分、夏至、秋分、冬至において、NEPと SEPを観測する際のオイラー角を示せ。
   
5. あすか衛星は1993年から2000年まで運用され、その間、約2000天体の指向観測(ポインティング観測)を実施した。ポインティング間の姿勢変更（attitude maneuver, attitude slew）の際のデータをすべて集積し、空の各点における 露光時間を示したのが この論文のFig.1である（これを"exposure map"と呼ぶ）。上の図は銀河座標、下は黄道座標で描いている。なぜこのようなパターンになるか、説明せよ。
   
6. もし同じ図を赤道座標で描いたら、どのようなパターンになるか？
   
7. すざく衛星は、NEP領域を複数回観測している。季節によって、その視野の ロール角が変化する様子を説明せよ。季節（観測時期）と共に、視野は時計回 りに回転するか、反時計回りに回転するか？
   
8. 全天または天球の一部の画像を平面に投影する際の投影法を、最低6つ挙げ よ。
   
9. あかり衛星は赤外線で全天サベイを実施し、全天赤外線マップを作成した （ 参考1 ､ 参考2）。どのような姿勢制御を行って全天サベイを実施したか、説明せよ。この方法で全天をサベイするのに、最低、どれだけの時間を要するか？ （こちらの動画を参考に。）

1. 良く用いられる以下の時刻系(Time and Date Systems)を説明せよ：JD, MJD, TJD, TT, TAI, UTC, TDB
2. 「うるう年」と「うるう秒」は、何のために、どのような状況で導入されるか？
3. 人工衛星が取得した、パルサーなどの天体データに精密なタイミング解析を実施する際には、地球と人工衛星の運動を補正するために、装置が記録した光の到達時刻(photon arrival time)を、太陽系重心(barycenter)における到達時刻に直す必要がある(barycentric correction)。ここでは、「あすか」衛星が観測したCrab Pulsarのデータにbarycentric correctionを適用することを考える。
   SIMBADによるとCrab pulsarの正確な座標は、(05 34 31.93830 +22 00 52.1758) である (J2000)。DARTSの検索結果からわかるように、あすかによるCrab pulsarの観測は、4月始めと9月後半(10月始め)に集中している。Crab pulsarの位置と「あすか」衛星の構造(+Z軸が観測方向、+Y軸が太陽パネル方向)から、その理由を説明せよ。
   
4. 1993年4月6日の観測 (ID:10010000) と 1993年9月28日の観測(ID:10010120)を考える。(wget -nv -m -np -nH --cut-dirs=3 -R "index.html*" https://darts.isas.jaxa.jp/pub/asca/data/10010120/でデータをダウンロードできる。)
   そこから得られるGISのイベントファイルについて、衛星軌道ファイル(frf.orbit.253.gz)を用いて、あすか用barycentric correctionツール "timeconv"によって、 以下のコマンドでbarycentric補正を行うことができる (TDBで1993年当初からの経過秒に変換する場合)。
   

      timeconv infile=ad10010000g200370h.evt timeop=2 ra=83.63308 dec=22.01450  frforbit=frf.orbit.253.gz
      timeconv infile=ad10010120g200170h.evt timeop=2 ra=83.63308 dec=22.01450  frforbit=frf.orbit.253.gz
       

   それぞれの観測について、元のイベントファイルとbarycentric補正後のイベントファイルの最初の100イベントを示す (イベント到達時刻のみが変わっていることに注目)。
   　　10010000.barycen.txt, 10010000.original.txt
   　　10010120.barycen.txt, 10010120.original.txt
   太陽系重心から見たCrab pulsarの方向と二回の観測時の地球の位置を考慮し、ここで得られた二つのbarycentric補正の結果を秒のオーダーで確認せよ。（注：この精度では人工衛星の位置を考慮する必要はない。）
   
5. 人工衛星データの解析をするとき、うるう秒を考慮しないと、間違った結果が得られてしまう。たとえば、数年間に亘ってうるう秒を考慮することを忘れていると、数秒ずれた軌道や姿勢を解析に使うことになる。それが実際のデータ軌跡に影響を与えた例を示せ（軌道に影響を与えた例、姿勢に影響を与えた例）。 上の「うるう秒を考慮せずに軌道に影響を与えた例」でが、光子の到来時刻がどのくらい変わるか、見積もれ。
6. 応用問題；HEASoftのASCAパッケージに含まれているtimeconvのソースコード (Makefile, asca_barycen.f, asca_geocen.c, htimeconv.c, timeconv.f, timedefs.inc) を理解して、上記のbarycentric補正の結果を正確に確認せよ。（注：ここで、asca_barycen.f, timeconv.f, asca_geocen.cについては、プロセスを追うためのコメントを出力するよう修正している。 $HEADAS/../ftools/asca/src/timeconvにて、hmake とすると、これらのコードがコンパイル、hmake installとするとインストールされる。）
   

Section 3: Satellite Orbits and Attitudes

Exercise 7: (2019/07/04)

1. H21 年度 東京大学院大学院天文学専攻入試問題、物理学1を解くことによって、ケプラーの第一、第二、第三法則を証明せよ。
   
2. 任意の離心率を持つ楕円を正確に描く方法を示せ（ヒント：楕円とは2つの焦点からの距離の和が一定の点の軌跡）。
   
3. 人工衛星の軌道の記述に用いられる「軌道六要素」の意味を説明せよ。
   
4. 人工衛星の軌道の記述に用いられる"Two Line Elements (TLE)"の意味を説明せよ。軌道六要素との違いは何か？(Isanaさんのページを参考に。）
   
5. 静止衛星は、軌道傾斜角が0度で公転周期が地球の自転周期と同じため、 地球の赤道上では天頂で静止しているように見えるが、緯度が高くなるにつ れ、衛星の仰角は低くなる（緯度が高い地域では、衛星放送アンテナがほと んど水平を向いてます！こんな感じ）。日本から見たとき、できるだけ天頂付近に滞在する時間が長くなる衛星（準天頂衛星）の軌道は、どのように設計したら良いか？ また、その軌道を、地表に投影したら、どのように見えるか？(これらの動画を参考に；動画1、動画2)
   
6. 「すざく」、「ひとみ」の軌道傾斜角は、約31度である。これらは何できまっているか？
   
7. すざく、NuSTARなどの地球低軌道（Low Earth Orbit; LEO）衛星と、 Chandra, XMM, INTEGRALなどの高軌道衛星で天体を観測する場合を比較し、 それぞれのメリット、デメリットを二つずつ挙げよ。（ヒント：地球周辺の磁力線）
   
8. 1996年から2002年まで稼働していたBeppoSAXはLEOを持ち、その軌道傾 斜角はほぼ0度であった（赤道上空を周回）。BeppoSAXは、より軌道傾斜角 が大きい(>30度)LEO衛星に比べ、バックグラウンドが低く安定しているとい う利点があった。それは何故か？ (ヒント、というか答えはこちら)
   

Exercise 8: (2019/07/11)

Exercise 9: (2019/07/18)

1. 剛体回転におけるオイラーの定理、「剛体中の固定点を中心とする回転は、その点を通る軸のまわりの回転で表せる」ことを証明せよ。
   
2. 四元数とはどのようなものか、説明せよ。
   
3. 3つの四元数、q, q', q''があるとき、結合法則q(q'q'')=(qq')q''を証明せよ。
   
4. 三次元空間におけるベクトルの回転と四元数との関係を説明せよ。
   
5. 四元数は、オイラー角と同様、人工衛星の姿勢を記述する際に用いられる。オイラー角と四元数の関係を説明せよ
   
6. 任意の回転行列（=3x3の直交行列）が与えられたとき、それと等価の四元数を用いて、回転軸と回転角を求めることができる。赤道座標の座標軸 （X軸が春分点、Z軸が天の北極を指す）から銀河座標の座標軸（X軸が銀河中心、Z軸が銀北極を指す）へ三回のオイラー回転で変換することができるわけだが、これを一度の回転で変換することもできる。その回転軸と回転角を求めよ（こちらの動画を参考に)。
   
7. 人工衛星がある姿勢を取っている（姿勢1）。別の姿勢2に姿勢制御(attitude maneuver)するとき、最短の移動パスを取るにはどのように姿勢制御したら良いか？ただし、ここで太陽角（=太陽パネルの方向が太陽となす角）の制限は考えなくて良い。 こちらのムービーを参考に。
   
8. 姿勢1と姿勢2の「平均の姿勢」はどのように定義したら良いか？
   

Section 4: Blackbody Radiation, Radiative Transfer

Exercise 10: (2019/07/25)

Exercise 11: (2019/08/08)

1. 光学的厚みτとはどのようなものか、説明せよ。その単位（次元）は？
   Explain the meaing of "optical depth (τ)". What is its unit (dimension)?
2. 光学的厚みを、以下の物理量を組み合わせて、4通りのやり方（考え方） で表せ： 物質の厚さ、吸収係数、質量吸収係数、密度、吸収断面積、柱密度、平均自由行程。
   Express the optical depth in for ways combining the followig physial quantities: thickness of the medium, absorption coefficient, mass-absorption coefficent, density, cross-section, column density, mean free path
3. 平均自由行程と吸収係数の関係を示せ。
   Show the relationship between the mean-free-path and the absorption coefficent.
4. 物質中で光子が吸収されずにτ進む確率を示せ。
   What is the probability that a photon proceeds τ not being absorbed in a medium.
5. 光子が進む光学的距離の平均を求めよ。
   What is the average of the optical depth a photon proceeds in a medium?
6. 源泉関数 (source function) S_ν、光学的厚みτを持つSlabを考える。このSlabに垂直に、I_ν(0)の輻射が入力したとき、 輻射輸送の式を解いて、出力される（観測される）輻射 I_ν(τ)を求めよ。
   Consider a Slab with the source function S_ν and the optical depth τ. When the flux with I_ν(0) entered the medium vertically, solve the radiation transfer function and obtain the output flux I_ν(τ).
   1. Slabが光学的に厚いとき(τ >> 1)、I_ν(τ)は どうなるか？ 特に、熱的輻射の場合、何が観測されるか？このような天体の例を示せ。
      When the Slab is optically thick (τ >> 1), how I_ν(τ) is expressed? In particular, in thermal emission, what is observed? Give examples of such celestial sources.
   2. Slabが光学的に薄いとき(τ <<1)、I_ν(τ)はどう 書けるか？
      When the Slab is optically thin (τ << 1), how I_ν(τ) is expressed?
      1. 入射する輻射がなく、ある波長においてのみ(τ >> 1)が大きいときには、何が観測されるか？このような天体の例を示せ。
         When there no input photons and τ >> 1 at a particular wave-lenngh, what would be observed. Give exmaples of such targets.
      2. 入射する輻射が強く、ある波長においてのみ(τ >> 1)が大きいときには、何が観測されるか？このような天体の例を示せ。
         When there is a strong input emission and τ >> 1 at a particular wave-lenngh, what would be observed. Give exmaples of such targets.
7. 光子が物質の中で吸収されず、散乱だけを受ける場合を考える。散乱の光学的厚みがτ_sの物質中で光子が受ける平均散乱回数Nはどう書けるか？
   Consider the case that photons are not absorbed in the medium, but only scattered. Estimate average number of scattering N in the medium with the optical depth τ.
8. 物質中で、散乱と吸収の両方が起きる場合を考える。その物質の吸収に対する光学的厚みをτ_a 散乱に対する光学的厚みをτ_sとする。 このとき、"effective optical depth"、τ_*はどう定義されるか？その物理的意味を説明せよ。
   Consider the case that photons are both absorbed and scattred in the medium, where the absorption optical depth is τ_a and the scattering optical depth is τ_s. How the "effective optical depth" is defined. Explain its physical meaning.

Section 5: X-ray Instruments

Exercise 12: (2019/09/05)

1. In X-ray astronomy, we use insturments to detect individual X-ray "photons". What are the two major principles to detect an X-ray photon, and convert the energy deposit to an electrical pulse.
2. In an early time of X-ray astronomy, X-ray "imaging" was hardly possible. Still, precise locations of X-ray stars (e.g., Sco X-1) are determined, so that optical identification was made possible. How can they determine X-ray position of X-ray stars?
   References:
   1965ApOpt...4..143O 1966ApJ...144.1249G すだれコリメーター
3. Even today, X-ray imaging mirrors in hard X-ray energies (>70 keV) are very difficult. Also, X-ray mirros may not cover a large feild of views. There are other techniques to image in hard X-rays and/or monitor a large part of the sky. Explain the teqniques used (will be used) in the following hard X-ray (>70 keV) imaging instruments or soft X-ray (<10 keV) instruments to monitor a large part of the sky:
   1. Ginga All-sky monitor (soft X-rays)
   2. MAXI (soft X-rays, all sky monitor)
   3. Swift BAT (hard X-rays)
   4. Einstein probe (soft X-rays, a large field of view)
   5. Ginga LAC or RXTE PCA
   Keywords: coded-aperture mask, one-dimensional position senstive sensors, lobster-eyes
4. Explain two principles to measure the input X-ray photon energy, corresponding to two principles in Problem 1 above?
5. Estimate typical energy resolution of the following instruments; proporitonal counter (PC), gas scintillation propotional counter (GSPC), CCD, micro-calorimeter (Ebisawa 2006 note, p.16-20).
6. Explain the princple of X-ray grating as a spectrometer (Chandra HETG/METG/LETG, XMM RGS). For very bright sources, what would be the method to achieve the best spectral resolution with gratings?
7. Understand energy dependence of spectral resolutions for CCD (and other counters using photoelections), grating, and microcalirimeter.
8. For the X-ray instruments in orbits, what are the major parameters to determine the number of photons (signal) and the background level (noise)? How can we maximize the Signal to Noise ratio (S/N)?
9. In the context above, which is more sensitive to a faint point source; Ginga LAC (4000cm² detector area ) or Chandra (150cm² or so effective area)?
10. Well, the answer to the previous question is obvious, but still Ginga is more senstive than Chandra in some cases. When?
11. X-ray astronomy started in 1962, but the first X-ray imaging satellite using mirrors, Einsten, was launced in 1979. Why it is so difficult to make X-ray mirrors? Give two reasons.
12. Einsten and ROSAT can image up to < 2 keV. X-ray imaging above > 2 keV was made possible with ASCA X-ray Telescope for the first time. ASCA is much smaller, lighter and cheaper than Einstein or ROSAT. Why this was made possible? What was the trade-off?
13. NuSTAR and Hitomi/HXI are first satellites which can focus hard X-rays up to ~70 keV. How this was possible?

Section 6: Special/General Relativity

Exercise 13: (2019/09/19)

Theme: Special Relativity, Aberration, Beaming effects

1. 1981年に初めてクェーサーからの「超光速運動」を報告した論文 ( Pearson et al. Nature, 1981, 290, 365)のアブストラクトはわずか一行、以下の通りである： "Maps of the radio structure of 3C273 show directly that it expanded with an apparent velocity 10 times the speed of light from mid-1977 to at least mid-1980." この現象を説明せよ。
   
2. 上記の現象は、光を放出する物体が光速に近い速さで、観測者に向かって運動している場合に観測される。物体の速度をv、観測者の視線方向との角度をθとする。 見かけ上の速度が最大になるθとその最大速度を求めよ。
   
3. 四次元座標(x, y, z, t)で表される慣性系Kと、(x',y',z',t')で表され る慣性系K'を考える。x=x', y=y'とし、K'はKに対し、z方向に等速度vで動 いているものとする。虚数iを導入し、(x,y,z,ict)と(x',y',z',ict')の間の変換式（ローレンツ変換）を4x4行列を用いて示せ。
   
4. 上記で示した4x4行列が直交行列であることを示せ。
   
5. ローレンツ変換を用いて、同じ時計の進み方を、KとK'で測定したときの進み方を比較せよ。
   
6. ローレンツ変換を用いて、同じものの長さを、KとK'で測定したときの違いを比較せよ（ローレンツ収縮）。
   
7. Kに対して+z方向に速度uで動いている物体を、K'で測定したときの速度をu'とする。ローレンツ変換を用いて、uとu'の関係を導け（速度の変換則）。
   
8. 上記の状況において、v=0.9c, u'=0.9cのとき、uを求めよ。また、v≪c, u'≪cのときは、uはどうなるか？
   
9. ローレンツ変換を用いて、ドップラー効果の式を導け。特に、相対論効果によって、横ドップラー効果が生じることに注意せよ
   
10. パルサーから観測される周期的な変動を正確に解析するためには、人工衛星が捉えた光子の到達時刻を、人工衛星と地球の運動を補正し、太陽系重心 (barycenter)で観測した場合の時刻に補正する必要がある（barycentric correction）。その際、光行差（Abberation）の補正も必要である。光行差の式を導け。光行差のために、季節によって天体の方向は、最大どれだけ変化して見えるか？
    
11. 光速に近い速度v(≈c)で運動する相対論的電子を考える。その電子が加速度運動するときの電磁放射は進行方向に強くビーミングし、広がりθは、θ ∼ 1/γで表されることを示せ（R&L section 4.8）。
    
12. 宇宙現象または地上施設において、相対論的な速度で運動している荷電粒子が、その進行方向に細いビーム上に電磁波を放射している具体的な例を挙げよ。また、そのような地上施設は、国内にはどこにあるか？（兵庫県とか、茨城県とか、愛知県とか…）

Exercise 14: (2019/09/25)

Theme: General relativity. Global Positioning System (GPS)

1. 今、ここで重力をなくすにはどうしたらいいでしょうか？（ヒントとなる動画 1, 動画2）
   
2. 仮想的に、回転していない、1太陽質量のブラックホールを考える。その シュワルツシルド半径は 2.95 kmである。（現実には≈3太陽質量より も小さなブラックホールは存在しない事に注意。）動径座標 r を、円周を2 πで割った量として定義する。 動径方向、r = 4 km から r = 5 km まで゙、巻き尺を使って直接測定したときの距離を求めよ。その値は、5km - 4km=1kmと比べて、大きいか、小さいか？
   
3. ブラックホールの近傍、動径座標 r において、時間間隔 Δtで、光のパルスが放射されているとする。無限遠方において、観測されるパルス間隔はどうなるか？ 特に、r がシュワルツシルド半径に極限まで近づくと、どうなるか？
   
4. ブラックホールの近傍、動径座標 r において、振動数 ν の光が放出されたとする。無限遠方において、観測される振動数はどうなるか？
   
5. 中性子星EXO 07481–676のX線バーストから、重力赤方偏移した鉄および酸素の吸収線が発見された (z = 0.35)。重力赤方偏移の値から、 中性子星の質量と半径の比を求め、理論から予想される値と比較せよ。（Cottam et al. 2002 Nature, 420, 51–54）。
   
6. GPS (Global Positioning System) の原理を説明せよ。GPSにおいて、一般相対論による地上と衛星での時間の進み方の違いを考慮しないと、どのくらい位置を間違えるか？
7. 重力レンズクェーサーRX J1131−1231は、視線上に存在する天体（おそら く銀河団）の強い重力レンズ効果によって、4つの像(A,B,C,D)に分割して見え る（Chartas et al. 2012, ApJ, 757, 137）。さらに、銀河団に属する銀河中の星がランダムにブラックホール（降着円盤）の前を横切る際の重力マイクロレンズ効果によって、降着円盤の一部からの光が増幅され、一部のレンズ像のみに変化が生じる。あるとき、ひとつのレンズ像から、5.50 keVと6.04 keVの輝線が観測された（Image D, Period 2）。これは、降着円盤から発せられた6.4 keVの蛍光鉄K輝線が、ケプラー回転によるドップラー効果で赤方偏移と青方偏移を受け、さらに横ドップラー効果による赤方偏移と重力赤方偏移を受けたものと考えられる。この解釈に沿って、円盤上における、鉄輝線放射領域の半径と回転速度を求めよ（文献の3.3節参照）。
   

Section 7: Mathematical methods, Statistics

Exercise 15: (2019/10/04)

Theme: Fast Fourier Transformation (FFT)

以下は、2005年8月22日にHXD/PINで観測されたCrab Nebulaのイベントファイルから、"powspec"でパワースペクトルを計算した例：
The following is an exampple of Crab pulsar by Suzaku HXD/PIN on 2005/08/22

  wget http://darts.isas.jaxa.jp/pub/suzaku/ver3.0/100007010/hxd/event_cl/ae100007010hxd_0_pinno_cl.evt.gz  
  powspec cfile1="ae100007010hxd_0_pinno_cl.evt.gz" window=- dtnb=1e-3 nbint=2097152 nintfm=1 rebin=0 plot=yes plotdev=/xs outfile=default

Exercise 16: (2019/10/18)

Theme: Poisson distribution. χ² distribution, χ² test.

Exercise 17: (2019/10/25)

Theme: F-test, KolmogorovSmirnov (K-S) test.

1. F-test :
   1. F検定とはどのようなものか説明せよ。（Bevingtonの教科書 11.4節も参考に）
   2. X線天文学においてF検定が良く用いられるのは、スペクトルモデルフィッ トにおいて、フィットを良くする(=χ²の値を下げる)ために スペクトル成分を追加する(=フリーパラメータの数を増やす)際、その追加が妥当かどうかを定量的に評価する場合である。
      X線スペクトル解析に広く用いられている標準ツール"xspec"を用いてスペクトル解析を行い、その結果をもとにF検定を行ってみよう。 ここではすざく衛星によるWR140の二回の観測 (OBSID=403031010, 403032010) におけるエネルギースペクトルを用いる(コマンドファイル)。
      1. それぞれの観測において、E>5keV帯域のデータに対して、「熱制動放射モデル(APEC)のみ」と「熱制動放射＋ベキ関数モデル(APEC+powerlaw)」でフィットし、χ²検定によって、それらのモデルの妥当性を評価せよ。
      2. 上記２つのフィット結果をもとにxspecの"ftest"コマンドを使用して、F検定を行え。実際のF分布の値から、ftestコマンドの出力結果を解説せよ。 (F-分布の計算には、こちらのサイトなどを使える。)
      3. ベキ関数を追加したことの妥当性を、それぞれの観測について評価せよ(=本当にWR140はベキ関数成分を放射しているのだろうか？)。
   3. (余力があれば) Protassov et al 2002, ApJ 571, 545 を読み、どのような場合、F検定が不向きか説明せよ。
2. Kolmogorov–Smirnov (K-S) test :
   1. K-S検定とは何か説明せよ。(Numerical Recipies、 リンク 1, リンク2 などを参考に)
   2. 天文学・宇宙物理学に関して、K−S検定が用いられている例を上げよ。 （Young Stellar Objectsの例、銀河面上のX線天体の例。他にも探してみてください。）

Section 8: Astronomical Topics

Exercise 18: (2019/11/01)

Theme: Cosmic X-ray background (CXB). Log N-Log S. Galactic Ridge X-ray Emission (GRXE)

Exercise 19: (2019/11/08)

Theme: Accretion disk. Emission from optically thick accretion disk

1. 横軸を降着円盤の面密度、縦軸を縦軸を質量降着率としたとき、降着円盤の解曲線はどのような形になるか？そのうち、どの部分が安定で、どの部分が不安定か？解曲線上の位置と、X線または他の波長による降着円盤の観測との関係を述べよ。
   
2. 1970年代に提案された標準円盤モデルとは、どのようなものか？標準円盤モデルにおいて、粘性係数(α)の定義とその物理的解釈を述べよ。
   
3. 最新の降着円盤の研究によると、粘性の物理機構が明らかになり、粘性係数を仮定せずに第一原理から計算することが可能になっている。その物理機構とは何か？
   
4. 標準降着円盤において、円盤の回転速度、円盤中の物質が落ちる速度、音速の関係を考察せよ。
5. ガス圧優勢の標準降着円盤を考えた場合、熱エネルギーと粒子（主に水素）一つあたりの重力ポテンシャルエネルギーの関係を考察せよ。
   
6. 降着円盤の各リングが半径に応じた温度の黒体放射をしている場合、温度の半径依存性はどう書けるか？移流（advenction）が存在する場合は、その関係はどうなるか？
   
7. 内縁半径r_in、内縁温度T_inで、各リングが半径に応じた温度の黒体放射をしている降着円盤のエネルギースペクトルは、どのような形で書けるか？ただし、内縁の境界条件を無視して良い。
   
8. 上記の場合、降着円盤の光度をr_inとT_inの関数として求めよ。
   
9. 幾何学的に十分薄い降着円盤の光度は、エディントン光度を超えないこと を示せ。また、光学的に厚いまま、幾何学的に厚くなると（スリムディスク）、 エディントン光度１を超えることができることを示せ。
   
10. エディントン光度で光っている光学的に厚い円盤の内縁温度を、中心天体の質量の関数として示せ。中心天体の質量が大きくなると、温度は上がるか、下がるか？
    
11. 東大大学院天文学専攻H24年度入試問題[天文学1]（問2）を解説せよ。

Exercise 20: (2019/11/15)

Theme: Cosmic rays

1. 高エネルギーの宇宙線を考える。そのジャイロ半径を、宇宙線エネルギーと磁場の関数として見積もれ。(Ebisawa 2006 note, 式5.2)
   
2. 上式を用いて、~10 GeVより低エネルギーの宇宙線は、地磁気に弾かれて地球大気に突入できないことを示せ。
   
3. X線天文衛星データを解析する際に、軌道上の粒子バックグラウンドの強度の指標となる "Cut-off Rigidity (COR)" を説明せよ。
   
4. 銀河系内宇宙線の加速源として、超新星残骸が考えられている。
   4-1. 銀河系内の宇宙線エネルギー収支から、「銀河系内宇宙線の超新星残骸起源説」が妥当であることを説明せよ。
   4-2. しかし、超新星残骸では>> 10¹⁶ eVまでは宇宙線を加速できないことを示せ。
   
5. >> 10¹⁷ eVの超高エネルギー宇宙線は銀河系外起源と考えられている。
   
   1. その理由を述べよ。
      
   2. 銀河系外で発生した>> 10²⁰ eVより高エネルギーの宇宙線は、地球まで届かないと考えられている（GZKカットオフ）。その理由を述べよ。
      
   3. 発生起源は謎だが、~10²⁰ eVの超高エネルギー宇宙線の観測が、数例報告されている。それは1つの粒子、おそらく陽子である。時速100 kmで跳んでいる~100 gの野球のボールを考えよう。ボールに含まれる陽子の数とボールの運動エネルギーを見積もり、それを~10²⁰ eVの超高エネルギー陽子と比較せよ。
      

Exercise 21: (2019/11/22)

Theme: Shocks, Fermi acceleration.

1. 超新星残骸のシェルでは衝撃波が発生していると考えられている。荷電粒子が磁場によって閉じ込められ、衝撃波面の上流と下流（速度差がV）を行き来する場合を考える。
   粒子は、分子雲と衝突することによって運動エネルギーを得る。 粒子が分子雲と正面衝突だけを繰り返す場合、一回の衝突あたりの粒子の平均エネルギーゲインΔE/EはV/cに比例することを示せ (第一フェルミ加速）。 (Ebisawa 2006 note, 式4.9)
   
2. 粒子が正面衝突と追衝突をランダムに繰り返す場合、一回の衝突あたりの粒子の平均エネルギーゲインΔE/Eは(V/c)²に比例することを示せ (第二フェルミ加速）。 (Ebisawa 2006 note, 式4.10)
   
3. 超新星残骸中のフェルミ加速によって加速された粒子のエネルギースペクトルが、dN/dE ∝E^-2と近似できることを示せ。 (Ebisawa 2006 note, 式4.17)
   
4. 加速された電子が上記のようなエネルギースペクトルを持ち、シンクロトロン放射または逆コンプトン放射で光子を放射するとき、光子のエネルギースペクトルはどのような形になるか？ (2017年第18回の問題6参照)

Exercise 22: (2019/11/29)

Theme: Charged Particle Equillibrium, Equipartition Time Scales

Exercise 23: (2019/12/06)

Theme: Charged Particle Equillibrium, Equipartition Time Scales

Section 9: Radiation Processes

Exercise 24: (2019/12/13)

Theme: Atomic structure. Selection rules. Spectral terms.

1. Explain atomic structure and atomic processes using figures in p.4-6 in "Astro-H cook book” .
   
2. Explain Atomic processes using the figure in p.7.
   
3. Explain fine structure and selection rules (p.8-p.9) in the cook book.
   
4. Solve R&L Ploblems 10.1.
   
5. Solve R&L Ploblems 10.2.
   

Exercise 25: (2019/12/20)

Theme: Interaction between photons and matter. Photoelectric absorption. Fluorecent emission line, Fluorecent yield.

1. 水素原子、および原子番号Zの元素のhydrogenic ion（水素様イオン）の光電吸収断面積を計算し、入射光子エネルギーの関数として図示せよ (R&L 10.56)。吸収端より高エネルギー側で、吸収断面積はエネルギーにどのような依存性を示すか？
   Calculate the photoelectric absorption cross-section of a hydrogen atom, as well as a hydrogenic ion of the element with the atomic number Z. Plot the cross-section as a function of the input photon-energy (see Rybicki and Lightman, R&L in the following, 10.56).
   At much higher energies than the edge energy, what will be the energy dependence of the cross-section?
   
2. 中性のH, He, C, N, O, Ne, Mg, Si, S, Fe の光電吸収断面積 (photoelectric absorption cross-section) をエネルギーの関数としてプロットし、0.1-10 keVのX線の光電吸収には主にどの元素が影響するか、考察せよ。(ヒントというか答え：HEASoftをインストールしていれば、$HEADAS/../spectral/modelData/mansig.fitsに、これらの元素の各電離状態の断面積テーブルがあります。それをプロットした図)
   Plot the photoelectric absorption cross-section of neutral H, He, C, N, O, Ne, Mg, Si, S and Fe, and consider which elements most affect the photo-absorption of the X-rays in 0.1 - 10 keV. (If you have installed HEASoft, $HEADAS/../spectral/modelData/mansig.fits gives the photo-electric absorption cross-sections of these elements at all the ionization states. Here it is. ).
3. 太陽組成を仮定して各元素の光電吸収断面積の重みつき平均を計算することによって、星間物質による光電吸収断面積をエネルギーの関数として示せ。（たとえば、1983ApJ...270..119Mを参照）
   Assuming the solar abundance, calculate weighted-average of the photoelectric absorption cross-sections of elements, and indicate the average inter-stellar photo-absorption cross-section as a function of energy (see 1983ApJ...270..119M).
4. 上記論文の図1から、1keVおよび 7.1 keV (鉄のK吸収端)における、水素原子一個あたりに対する星間吸収の断面積を読み取れ。その吸収断面積の値から、各エネルギーに於いて、天体までの各元素の柱密度（単位はcm^-2）がどのくらいの値になると、星間吸収が無視できなくなるか（=光学的あ厚みが1を超えるか）、考察せよ。
   From Fig. 1 of the paper above, read the cross-section values of the interstellar absorption per hydrogen atom at 1 keV and 7.1 keV (Fe K-edge). For each energy, at which values of the hydrogen column densities (the unit is cm^-2), will the interstellar absorption be significant (=optical depth excees unity)?
5. 十分に光学的に厚い円盤の上空に、X線源が位置する状況を考える。円盤は中性（電離していない）とする。円盤に入射したX線光子は、円盤に吸収されるか、円盤内で1回だけ散乱して出てくるかのどちらかであるとする(2回以上の散乱は考えない)。
   （以下、水本岬希さんによるレポートとPythonコードを参考に。提供してくださった水本さんに感謝します。）
   Consider an optically thick accretion disk and a point X-ray source above it. The disk is not ionized (neutral), and the incident X-rays are either absorbed by the disk or once scattered to come out (=reflected). We do not consider the second scattering.
   (Please find the report and the python code by Misaki Mizutomo. We acknowledge Misaki.)
   1. 吸収断面積をσ_a、散乱断面積を σ_s とすると、それらを使って光子が円盤に吸収される確率P_a と散乱される確率P_s はどう書けるか？
      Using the absorption cross-section σ_a and the scattering cross-section σ_s, what will be the probability that the photon is absorbed by the disk (P_a) and scattered by the disk (P_s)?
   2. fluorescent yield (蛍光収率)とは、どのような物理量か？中性鉄のK吸収において、蛍光収率の値はいくらか？
      What is the fluorescent yield? What is its value for the neutral Fe K-absorption?
   3. 中性鉄の蛍光Kα輝線とKβ輝線の強度比は、1:0.11であることが知られている。これを用いて、円盤にスペクトルF(E)[photons cm^-2 s^-1 keV^-1]を持つX線が入射したときに放射される蛍光Kα輝線とKβ輝線の強度[photons cm^-2 s^-1]を計算する式を示せ。
      Ratio of the strengths of the neutral iron Kα and Kβ line strengths is known to be 1:0.11. Using this fact, calculate the fluorescent Fe Kα and Kβ line strengths when the incident photon spectrum to the disk is F(E)[photons cm^-2 s^-1 keV^-1].
   4. σ_aに上記3の式を用い、σ_sにはKlein-Nishinaの式を用いて、F(E)＝ E^-2[photons cm^-2 s^-1 keV^-1]のときに、円盤からの反射スペクトルを計算せよ。ここで蛍光輝線は鉄のKαとKβのみを考えれば良い。
      For σ_a, use the cross-section in the problem 3 above, and use Klein-Nishina formula for σ_s, then calculate the disk-reflection spectrum. Consider only Fe Kα and Kβ fluorescent lines (ignore other fluorescent lines).
6. 鉄原子が電離するにつれて、K吸収端のエネルギー、Kα線のエネルギー、Kβ線のエネルギーはどのように変化するか？(長瀬先生の論文参照)
   As iron is more highly ionized, how the K-edge energy, Kα line energy, and Kβ line energy change? (See the paper by Nagase-sensei)
   
7. 鉄原子が電離するにつれて、光電吸収の断面積はどのように変化するか？上記2で用いたテーブルを用いて、図示せよ (答え)。Fe XXVI(Hydrogenic iron;水素様鉄イオン)について、断面積の値が上記1で示した式と一致することを確認せよ。
   As iron is more highly ionized, how the photoelectric absorption cross-section changes? Plot using the table mentioned in the problem 2 above (Here is the answer ).

Exercise 26: (2019/12/27)

Theme: Absorption line profile. Voigt function. Curve of growth. P-Cygni profile.

1. 現在、多くのAGNやX線連星系から高電離した鉄のK吸収線が6.7 keV (He-like) または7.0 keV (H-like) に観測されている。しかし、明るいX線連星系からはっきりと鉄吸収線を確認したのは、 1993年に打ち上げられた「あすか」衛星が初めてである。
   それ以前の、たとえば「ぎんが」衛星は、多くの天体から鉄輝線は観測したが、鉄K吸収線は観測できなかった。それは何故か？
   
2. X線連星系のエネルギースペクトル中に鉄吸収線が観測されるために系が満たす条件を示せ。(参考文献の最後のあたり)
   2-1. 吸収線のプロファイルを表わすVoigt関数とはどういうものか、説明せよ。(R&Lの式10.77)
   2-2. 吸収線が強く（深く）なるにつれて、吸収線プロファイルはどのように変化していくか？ (ロチェスター工科大学の先生のページを参考に)
   
3. あすか衛星搭載のCCDカメラが、GRS1915+105より、He-likeの鉄およびH-likeの鉄K吸収線を観測した。 (参考文献：Kotani et al. 2000 Kotani et al. 2006)
   3-1. 成長曲線（Curve of Growth）を用いて、観測された鉄吸収線の等価幅から鉄の柱密度に制限を付ける方法を説明せよ。
   3-2. 実際には、成長曲線を用いて、等価幅だけからは柱密度は決まらない。等価幅以外に、吸収プラズマについて、どの物理量が必要か？
   3-3. その物理量を決定するには、将来的に、どのような観測が必要か？
   
4. P-Cygniプロファイルが観測されるのはどのような場合か？
   4-1. X線領域において、P-Cygniプロファイルが観測された例を複数あげよ。(中性子星連星の例。SSS[白色矮星連星系]の例。同じSSS。)
   4-2. X線スペクトル中にP-Cygniプロファイルが観測されたとき、星風の速度が一定と仮定して、スペクトルをフィットして輝線の等価幅、吸収線の等価幅、星風の速度を求めるモデルを作成せよ。（解答例）
   

Exercise 27: (2020/01/10)

Theme: Photoionization. ξ parameter.

1. 光度 L [erg/s]のX線天体の周りを数密度 n [cm^-3]のプラズマが一様に取り囲んでいる状況を考える。プラズマは、中心天体に照らされて、光電離する（photoionization）。天体からの距離をr [cm]として、電離パラメーター ξ ≡ L/nr²[erg cm/s]を定義する。各元素の電離状態は、おおよそξで決まることを示し、各元素の電離状態をξの関数として図示せよ （Kallman and McCray 1982）。
   
2. ξ=10³ ≈10 ⁴ のときに、Fe XXVI(H-likeの鉄)とFe XXVII（完全電離した鉄の原子核）の割合がほぼ等しくなることを、解析的に示せ。（Ebisawa note 式5.5-5.9）
   
3. 光電離した物質によるX線吸収を考える。∝E^-1 [photons/s/cm²/keV]のスペクトルを持つX線天体の前に、水素柱密度10²⁴ [cm^-2]を持つ吸収体があるとする。 吸収体の化学組成は太陽組成とする。吸収体の電離度log(ξ)が-4, -3,,,0,,,3, 4と変化するにつれて、吸収帯を通して観測されるスペクトルはどう変化するか？XSTARを用いて計算し、それらのスペクトルを図示せよ。また、各log(ξ)におけるスペクトルがどのように特徴付けられるか（=どのスペクトルの特徴からξを見積もることができるか）、考察せよ。（Ebisawa note p.87）
   
4. xspecを立ち上げて、コマンドファイルを用いて、@photoionize.xcmと入力し上記のようにξが変化するにつれてスペクトル変化する様子を観察せよ。 ただし、ここでxout_mtable.fitsが必要。
5. 上記のxout_mtable.fitsは、どうやって作成されたものか、どのように使われるか、説明せよ。

Exercise 28: (2020/01/17)

Theme: Thermal bremsstrahlung. Free-free absorption. Sunyaev-Zeldovich effect

Exercise 29: (2020/01/24)

Theme: Thermal Comptonization. Kompaneets equation. Compton y-parameter.

Exercise 30: (2020/01/31)

Theme: Synchrotron emission. Relativistic Comptonization.

Exercise 31: (2020/03/06)

Exercise 32: (2020/03/13)

Theme: Fluid Dynamics

1. Frozen-in of magnetic field (磁場の凍結)
   1. 磁場中を伝導度の高い物体が動くとき、磁力線が物体に引きずられる(=磁場の凍結)原理をMaxiwell方程式から説明せよ。(The physics of Astrophysics, Vol II, p.297あたり；手書きノート1参照)
   2. この現象を、できるだけ式を使わずに、直感的に説明せよ (手書きノート2参照)。
2. Shock Waves (衝撃波)
   圧縮性流体における衝撃波の波面前後の物理量の変化を考える。
   (この問題と次の問題では、参考文献、25, 26を参照のこと。)
   1. 質量、運動量、エネルギー保存則から、波面前後の密度、速度、圧力の関係式(ランキンーユゴニオの関係式)を導け。
   2. 理想気体で、強い衝撃波の場合、衝撃波の後面の流体の密度、温度はどうなるか答えよ。
3. Instability
   流体中の対流を考える。
   1. 対流の発生条件(Schwarzschildの条件)を示せ。
   2. 流体の境界面に発生する不安定性であるRayleigh–Taylor instabilityとKelvin–Helmholtz instabilityを定性的に説明せよ。それぞれについて具体例を示せ。

Exercise 33: (2020/03/13 --> 2020/4/17に延期 --> 再延期)

References

1. Ebisawa lecture note1 (2016 Univ. of Tokyo, graduate school, in English)
2. Ebisawa lecture note2 (2011 Univ. of Tokyo, graduate school, in Japanese)
3. Ebisawa lecture note3 (2006 Univ. of Tokyo, graduate school, in Japanese)
4. Ebisawa lecture note4 (2007-2010 Univ. of Tokyo, undergraduate, in Japanese)
5. "Radiative Processes in Astrophysics", G. B. Rybicki, A. P. Lightman (Wiley) (R&L)
6. "High Energy Astrophysics", Katz, out of print , but the pdf is freely available.
7. "Handbook of X-ray astronomy", (Cambridge University Press)
8. "High Energy Astrophysics", Longair (Cambridge University Press)
9. "Black‐Hole Accretion Disks:Towards a New Paradigm", Kato, Fukue and Mineshge (Kyoto Univ. Press)
10. "Atomic spectra and atomic structure", Herzberg
11. "Classical Mechanics", Goldstein
12. "Electrodynamics", Jackson
13. "Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity", Taylor, Wheeler GPSの説明はこれを参考にしました。
14. シリーズ現代の天文学8、ブラックホールと高エネルギー現象（日本評論社）
15. シリーズ現代の天文学17、宇宙の観測(3)、高エネルギー天文学（日本評論社）
16. 「人工衛星の力学と制御ハンドブック―基礎理論から応用技術まで」 姿勢制御研究委員会
17. 「ハミルトンと四元数」 堀源一郎 （海鳴社）
18. 「宇宙線」 小田稔 （裳華房）
19. "Astrophysics I, II", Richard Bowers and Terry Deeming, Jones and Bartlett Publishers Inc.
20. Numerical Recipes, Cambridge University Press (ニューメリカルレシピ・イン・シー 日本語版)
21. "Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences" Bevington and Robinson, McGraw-Hill
22. "Astro-H cook book"
23. "Physics of Fully Inozed Gases", Spitzer (完全電離気体の物理―プラズマ物理入門)
24. "The Physics of Astrophysics", Vol.1 and 2, by Frank H. Shu
25. 宇宙流体力学　坂下志郎・池内了　(3-4, 4章) (式は下の文献より追いやすいです)
26. 宇宙流体力学の基礎　福江純・和田桂一・梅村雅之　(8.2, 9章)　　　(式を追うのは大変そうですが、具体例が結構書いてあります)