四元速度

すでに見たように、時空点の座標$(x,y,z,ict)$やその微少変化量 $(dx,dy,dz,ic\;dt)$は四元ベクトルの一つである。これを不変量$d\tau$で 割った

$$\left(\frac{dx}{d\tau}, \frac{dy}{d\tau}, \frac{dz}{d\tau}, ic \frac{dt}{d\tau}\right)$$ (136)

も 四元ベクトルであり、これを四元速度と呼ぶ。 これを式(135)を使って、

$$\gamma (v_x, v_y, v_z, ic)$$ (137)

と書ける。

四元速度の長さがローレンツ不変量であることを確認しておこう。

$$\gamma^2(v_x^2+v_y^2+v_z^2-c^2)=\frac{v^2-c^2}{1-(v/c)^2}=-c^2.$$ (138)