ステファンボルツマンの法則

黒体輻射をしている物体の表面から、単位面積あたり放射されるエネルギーを求めよう。 黒体輻射の式に$\cos \theta$を掛けて(ここに注意!)、全振動数と、立体角で$\theta=0$から$\pi/2$まで積分する。 立体角で積分する部分は

$$\int \cos \theta d\Omega = 2 \pi \int_0^{\pi/2} \cos\theta \sin \theta d\theta=\pi$$ (259)

となる。よって、求めるフラックスは

$$\pi \int_0^\infty B_\nu(T) d\nu = \pi \left(\frac{2h}{c^2}\right)\left(\frac{kT}{h}\right)^4 \int_0^{\infty} \frac{x^3\; dx}{e^x-1}$$ (260)

$$= \frac{2\pi^5k^4}{15 c^2 h^3}T^4 \equiv \sigma T^4 \;\;[{\rm erg/s/cm^2}].$$ (261)

ここで、 $\int_0^\infty x^3/(e^x-1) dx = \pi^4/15$を用いた。$\sigma$が ステファンボルツマン定数であり、以下の値を持つ。

$$\sigma=5.67 \times 10^{-5}\; [{\rm erg/s/cm^2/K^4}] = 1.03 \times 10^{24} \; [{\rm erg/s/cm^2/keV^4}].$$ (262)