プランク時間、プランク長、プランク密度

重力常数、光速、プランク定数の値は以下の通りである。

$G=6.6726 \times 10^{-11}$ N$\cdot$m$^2$/kg$^2$ (m$^3$/kg/s$^2$)
$c= 2.9979\times 10^8$ m/s
$h=6.62607 \times 10^{-34}$ J$\cdot$s　(kg$\cdot$m$^2$/s)

ただし、$h$を$2\pi$で割った、$\hbar$が良く使われる。

$\hbar=1.05457 \times 10^{-34}$ J$\cdot$s　(kg$\cdot$m$^2$/s)

この$G, c, \hbar$の単位（次元）をグッとにらんで、時間、長さ、質量、さらに密度の 単位を作ってみる。これらが、プランク時間、プランク長、プランク質量、プランク密度である。

$$Planck\; Time = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}= 5.39 \times 10^{-44} \;\; [{\rm sec}]$$ (1)

$$Planck\; Length =\sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}=1.61 \times 10^{-35} \;\; [{\rm m}]$$ (2)

$$Planck\; Mass= \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}= 2.176 \times 10^{-8} \;\; [{\rm kg}]$$ (3)

$$Planck\; Density=\frac{c^5}{\hbar G^2} = 5.16 \times 10^{93} \;\; [{\rm g/cm^3}]$$ (4)