直交変換の簡単な記法

直交行列の性質を簡単に表す記法がある。まず、添字、1,2,3,4を$i,j,k,l$などの文字で表す。 Kroneckerのデルタを導入する。

$$\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{ll} 1 & (i=j)\\ 0 & (i\neq j)\\ \end{array} \right.$$ (31)

さらに、「同じ添字が対になって一つの項に現われるときには、常にその添字について1から3まで (3次元空間の場合)あるいは 1から4まで(4次元時空の場合)の和を とる($\Sigma$記号を省略する)」という総和の規約を導入する。 すると、 基底ベクトルの直交条件、(14),(15)は以下のように書ける。

$${\bf e_i}\cdot{\bf e_j}=\delta_{ij},{\bf e'_i}\cdot{\bf e'_j}=\delta_{ij}.$$ (32)

二つの座標系の基底ベクトルと、変換行列との関係は以下のようになる。

$${\bf e_i'}\cdot{\bf e_j}=a_{ij}, \; {\bf e_i'}=a_{ij} {\bf e_j}, \;{\bf e_i}=a_{ji} {\bf e'_j}.$$ (33)

座標軸の直交関係を表わす(20),(21),(29),(30)は、

$$a_{ik}a_{jk} =\delta_{ij}, a_{ki}a_{kj} =\delta_{ij}$$ (34)

となる。