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もうひとつ、直交行列の性質として、その行列式の値は1である、と言うことがある。
これを証明してみよう。
まず、ベクトルの外積の復習をしておこう。
3次元のベクトル
の外積を
とする
。
![\begin{displaymath}
{\bf O} = {\bf A} \times {\bf B}.
\end{displaymath}](img125.png) |
(37) |
Oは、AからBの向きに右ネジを回したときに、ネジが進む方向を
向くベクトルで、その大きさは、AとBがなす角を
とすると、
で与えられる (
と
を二辺とする平行四辺形の面積)。また、各成分は以下の通りである。
![\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{c}
O_x\\
O_y\\
O_z\\
\end{array}
\ri...
...A_z B_x - A_x B_z\\
A_x B_y - A_y B_x\\
\end{array}
\right)
\end{displaymath}](img130.png) |
(38) |
一般的に、ベクトル
のスカラー三重積は、
![\begin{displaymath}
{\bf A}\cdot ({\bf B}\times{\bf C})={\bf B}\cdot ({\bf C}\times{\bf A})={\bf C}\cdot ({\bf A}\times{\bf B})
\end{displaymath}](img132.png) |
(39) |
で定義される。
がこの順に右手系をなすとき、スカラー三重積は、
この3つのベクトルが作る平行六面体の体積を表わす。 スカラー三重積を
の直角成分を用いて書くと、
![\begin{displaymath}
{\bf A}\cdot ({\bf B}\times{\bf C})=
A_x B_y C_z + A_y B_z C_x + A_z B_x C_y
-A_x B_z C_y - A_y B_x C_z - A_z B_y C_x
\end{displaymath}](img133.png) |
(40) |
![\begin{displaymath}
= \left\vert\begin{array}{ccc}
A_x & A_y & A_z\\
B_x & B_...
..._y & B_y & C_y\\
A_z & B_z & C_z\\
\end{array}\right\vert.
\end{displaymath}](img134.png) |
(41) |
ここで、
は行列
の行列式を示す。
上記で定義した直交座標系の基底ベクトル
または
が作る平行六面体の体積は当然1なので、
それらのスカラー三重積は1、つまり直交変換の変換行列の行列式の値は1である。
![\begin{displaymath}
\left\vert\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
...
...3}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{array}\right\vert = 1
\end{displaymath}](img137.png) |
(42) |
行列の行列式の計算方法から
![\begin{displaymath}
a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21}...
..._{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} = 1
\end{displaymath}](img139.png) |
(43) |
である。
Ken EBISAWA
2011-02-08