方向ベクトル

赤経と赤緯を通常、($\alpha$, $\delta$)で表す。 長さが1で、 $(\alpha,\delta)$の方向を表す方向ベクトル、${\bf p}$を 考えよう。 春分点の方向を$x$軸、赤道面上、赤経90度を $y$軸、北極を$z$軸、とする右手系を考えよう。方向ベクトルの$xyz$座標は以下のようになる。

$$\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array}\right) = \... ...\cos \delta \sin \alpha \\ \sin \delta\\ \end{array}\right)$$ (5)

$x^2+y^2+z^2=1$になることを、当たり前だけど念のために確認しておこう。ここで定義した$x,y,z$軸の 基底ベクトルを、それぞれ ${\bf e_x},{\bf e_y}, {\bf e_z}$とすると、

$${\bf p} = x {\bf e_x}+ y{\bf e_y}+z {\bf e_z}= ({\bf e_x},{\... ..._z}) \left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array}\right)$$ (6)

である。

黄道座標系に基づいた、$x'$軸,$y'$軸,$z'$軸と、それぞれの基底ベクトル、 ${\bf e_x'},{\bf e_y'}, {\bf e_z'}$ を考えよう。$x'$軸は春分点を向いていて、$x'y'$軸 面が黄道面に一致している。同様に、銀河座標系に基づいた、 $x''$軸,$y''$軸,$z''$軸と、基底ベクトル ${\bf e_x''},{\bf e_y''}, {\bf e_z''}$ を考える。$x''$軸は銀河中心を向いていて、$x''y''$平面は銀河面と一致している。

式(6)で定義した方向ベクトル${\bf p}$を、黄道座標系でも銀河座標系でも 表わすことができる。

$${\bf p} = ({\bf e_x},{\bf e_y}, {\bf e_z}) \left(\begin{arr... ...left(\begin{array}{c} x''\\ y''\\ z''\\ \end{array}\right).$$ (7)

式(5)と同じ関係が、黄道座標と$(x',y',z')$の間に、 銀河座標と$(x'',y'',z'')$の間に、成立する。たとえば、ベクトル${\bf p}$の 銀河座標を$(l,b)$とすると、

$$\left(\begin{array}{c} x''\\ y''\\ z''\\ \end{array}\righ... ... \cos l \\ \cos b \; \sin l \\ \sin b\\ \end{array}\right).$$ (8)

これを逆に解いて、

$$\left(\begin{array}{c} l\\ b\\ \end{array}\right) = \left(... ...^{-1}\left(z''/\sqrt{x''^2+y''^2}\right)\\ \end{array}\right)$$ (9)

によって、銀河座標$(l,b)$を求めることができる。

以上まとめると、ある天体の赤経、赤緯 $(\alpha,\delta)$を銀経、銀緯$(l,b)$に 変換するには、式(5)によって赤道座標系での方向ベクトルの3成分$(x,y,z)$を求め、それを 式(7)によって銀河座標系の3成分$(x'',y'',z'')$に変換し、 さらに式(9)を用いればよい。