人工衛星の軌道、惑星の軌道

地球の周りの人工衛星の軌道や、太陽のまわりの惑星の軌道を考えてみよう。以下で、$m$は人工衛星または惑星の換算質量、$\bm{r}$は、 地球中心に相対的な人工衛星の位置、あるいは太陽に相対的な惑星の位置を示す。 まず、エネルギー保存則から、全エネルギーを$E$とすると、

$$\frac{m}{2}(v_r^2 + v_\theta^2) - \frac{GMm}{r} = E.$$ (158)

(153),(154)を使うと、

$$\frac{m}{2}\left(\frac{dr}{dt}\right)^2 +\frac{h^2}{2mr^2} - \frac{GMm}{r} = E.$$ (159)

ここで(154)から、

$$\frac{d}{dt} = \frac{d \theta}{d t} \frac{d}{d \theta} =\frac{h}{mr^2}\frac{d }{d \theta}.$$ (160)

よって、独立変数を時刻$t$から$\theta$に変換して(159)は、

$$\frac{m}{2}\left(\frac{h}{mr^2} \frac{dr}{d\theta}\right)^2 +\frac{h^2}{2mr^2} - \frac{GMm}{r} = E$$ (161)

と書ける。 この微分方程式が$r$と$\theta$の関係を与えるので、$r$を$\theta$の関数として求めれば、惑星の軌道が求められたことになる。 ここで、$1/r = u$と変数を変換すると、以下のように変形できる。

$$\frac{h^2}{2m}\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2 +\frac{h^2 u^2}{2m} - GMmu = E,$$ (162)

$$\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2 + \left(u - \frac{GMm^2}{h^2}\right)^2 - \frac{G^2M^2m^4}{h^4} = \frac{2mE}{h^2},$$ (163)

$$\pm \frac{du}{ \sqrt{\frac{2mE}{h^2} + \frac{G^2M^2m^4}{h^4} - \left(u - \frac{GMm^2}{h^2}\right)^2}} = d\theta.$$ (164)

ここで積分公式、 $\int dx/\sqrt{a^2-x^2} = \cos^{-1} (x/a)$を用いて、

$$\pm \cos^{-1} \frac{u - \frac{GMm^2}{h^2}}{\sqrt{\frac{2mE}{h^2} + \frac{G^2M^2m^4}{h^4}}} = \theta.$$ (165)

よって、

$$r = \frac{\frac{h^2}{GMm^2}}{1+ \sqrt{1 + \frac{2Eh^2}{G^2M^2m^3}}\cos \theta}.$$ (166)

ここで、

$$l \equiv \frac{h^2}{GMm^2},$$ (167)

$$e \equiv \sqrt{1 + \frac{2Eh^2}{G^2M^2m^3}}$$ (168)

と定義すれば、 (166)は、

$$r = \frac{l}{1+ e \cos \theta}.$$ (169)

と書ける。これは原点(太陽または地球)を焦点の一つとする円錐曲線の式で、$e$は離心率、$l$は半直弦と呼ばれる。 円錐曲線は、円錐を任意の断面で切ったときの断面の形で、楕円($e<1$)、放物線($e=1$)、双曲線 ($e>1$)、のいずれかである。 下図に、異なる離心率の円錐曲線の例を示す。

実際に太陽の周りの惑星(彗星)や地球の周りの人工衛星(探査機)の軌道も、楕円、放物線、双曲線のどれかである。 (168)より、離心率$e<1,e=1,e>1$はそれぞれエネルギー $E<0,E=0,E>0$に対応している。すなわち、 全エネルギー$E$が負のときは、人工衛星は地球の重力に束縛されて、地球の周りを楕円軌道を描いて周回する。 運動エネルギーが増加するにつれ、離心率が大きなり、やがて軌道は放物線となり、人工衛星は地球の重力圏を 脱出する。無限遠でエネルギーはゼロになる。さらに運動エネルギーが大きい場合は、双極線軌道になり、無限遠でも 正のエネルギーを持つ。