変換行列は9つの要素を持つわけだが、独立な要素は3つである。これは、 オイラーの定理より、任意の直交変換は回転軸の方向(2つの変数で決まる) とそのまわりの回転角(3つめの変数)を与えれば実現できることから理解できる。 その3つの変数を指定すれば、二つの座標系の間の変換を一意的に定義したことになる。
座標変換を表わす3つのパラメーターとして良く使われるものにオイラー角 がある。オイラー角にもいろいろな定義があるが、ここでは日本の科学衛星の姿勢に使われている 「zyz」オイラー角の定義を用いて議論を進める。
赤道座標の上で、2.3節で定義した、軸を考える(軸は春分点、 軸は北極を向いている)。たとえばこれが人工衛星の三軸だったら、今から定義する オイラー角は人工衛星の姿勢を与えることになるし、別の座標軸だったら、 オイラー角は異なる天球座標系の間の変換を与える。
軸の周りに、の向きを向いて時計周りに角度回転し、 軸、軸の位置を変える。この新たな3軸を、便宜上としよう(である)。 次に、軸の周りに、角度回転し、軸の 位置を変え、軸を定義する(である)。最後に、軸の周りに回転し、 最終的に、,,軸を定義することができる。軸による旧座標系と、軸による 新座標系の間の関係を与える を、オイラー角と呼ぶ。
このように定義したオイラー角と、(19)または(28)で与えられる変換行列との関係を調べてみよう。まず、最初の軸のまわりの回転で、新たな
基底ベクトルと元の基底ベクトルの間の関係は以下のようになる。
(50) |
同様にして、軸周りの回転によって、
(51) |
軸周りの回転によって、
(52) |
以上、3式をまとめて、
これが、このノートの冒頭で与えた式(6)である。 これは回転行列だから、条件(34)と(42)を満たしていることに注意しよう。