オイラーの定理

今、共通の原点を持つ二つの直交座標系の間の座標変換(点のまわりの回転変位)を考えているのだが、この場合に以下の オイラーの定理が成立する。

定理 I   点のまわりの回転変位は、その点を通る1つの軸のまわりの回転によって達っせられる。

これを、すでに学んだ直交行列の性質から簡単に証明することができる。回転変位を実現する回転軸に沿った方向ベクトル はその変換によって不変だから、そのベクトルの3成分を$(x_0,y_0,z_0)$と書けば、

$$\left(\begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array}\righ... ...eft(\begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array}\right).$$ (44)

ここで変換行列を単純に$A$と書いた。これは、直交行列$A$に対して、$(x_0,y_0,z_0)$が 固有ベクトルであり、固有値が1であることを示している。 単位行列$I$を持ちいると、上式は、

$$(A - I) \left(\begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{arr... ... = A \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)$$ (45)

と書ける。つまり、行列$A-I$には逆行列が存在しない。その条件は、行列式が0であること、

$$\left\vert A-I \right\vert=0$$ (46)

である。ところで、$A$の転置行列 ${}^t\hspace{-1mm}A$は$A$の逆行列だから、

$$\left(A-I\right) {}^t\hspace{-1mm}A= I - {}^t\hspace{-1mm}A.$$ (47)

ここで両辺の行列式を取り、転置行列の行列式は元の行列式と等しいこと、回転行列の 行列式は1であること(式42)を持ちいると、

$$\left\vert A-I\right\vert= \left\vert I - A \right\vert.$$ (48)

一般に、 $n\times n$ 行列$B$の行列式について、

$$\left\vert -B \right\vert = (-1)^n \left\vert B \right\vert$$ (49)

が成立する。今考えている3次元行列については、 $\left\vert I - A \right\vert = - \left\vert A -I \right\vert$である。よって、 (48)は(46)を示していることがわかる。