チェック項目問題

******チェック1. 地球の脱出速度を計算で出してみよう。******
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* 脱出速度はおおざっぱにいうと「地表での重力エネルギーを上回る運動エネルギー」を持つ速度のことである。
* 具体的な式を書くと
* $\begin{displaymath}\frac{1}{2} m v^2 = \frac{GMm}{R}\end{displaymath}$
* だ。
*    m = 物体の質量
*    v = 脱出速度
*    G = 重力定数
*    M = 物体の質量
*    R = 地球の半径
*
* 整理すると
* $\begin{displaymath}\displaystyle v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}\end{displaymath}$
* になる。
* 脱出速度が地球の質量と半径だけに依存することが確認できただろうか？ (物体の質量mには関係ない)
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* では計算してみよう。
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* ヒント
*    G (重力定数) = 6.67 × 10^-20 [km³ s^-2 kg^-1]
*    M (地球の質量) = 5.97 × 10²⁴ [kg]
*    R (地球の半径) = 6350 [km]
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* 解答
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******チェック2. 見えない何かの質量を推測してみよう。*******
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* 話を簡単にするために「連星系を真横から見ている」としよう。
* 恒星がどれくらいの周期・速度で回っているのかを調べれば、ニュートン力学から次のように質量を求めることができる。
* $\begin{displaymath}\displaystyle \frac{M^3}{(M+m)^2} = \frac{v^3 T}{2 \pi G}\end{displaymath}$
*    M = 見えない何かの質量
*    m = 恒星の質量
*    v = 速度
*    T = 周期
*    G = 重力定数
*
* ちょっとごちゃごちゃしているから整理しよう。
* 速度と周期は、観測から
*    速度 = 73 [km/s]
*    周期 = 5.6 日 (= 483840 [s])
* と得られる。これらを代入すると
*    右辺 = 4.5 × 10²⁹ [kg]
* である。
* ところで太陽の質量は 2 × 10³⁰ [kg] だ。
* 太陽の何倍の質量、といった方が直感的に分かりやすい。
*    右辺 = 4.5 × 10²⁹ [kg] = 0.22 × (太陽の質量)
* なので、
* $\begin{displaymath}\displaystyle \frac{M^3}{(M+m)^2} = 0.22 M_{\rm {sun}}\end{displaymath}$
* と整理できる。
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* 未知数が2つ残ってしまった。どうやって見えない何かの質量Mを計算しよう？
* 実は恒星の質量mは、その色から大体推測できる。
* 今回は
*     $\begin{displaymath}\displaystyle m = 25 M_{\rm {sun}}\end{displaymath}$
* である。
* では見えない何かの質量Mはいくつになるか計算してみよう。
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* ヒント
* 3次方程式(x³+bx²+cx+d=0)の解
*     $\begin{displaymath}\displaystyle x = \sqrt{-q + \sqrt{q^2 + p^3}} + \sqrt{-q - \sqrt{q^2 + p^3}} - \frac{b}{3}\end{displaymath}$
*     ... $\begin{displaymath}\displaystyle p = \frac{c - b^2 / 3}{3}\end{displaymath}$
*     ... $\begin{displaymath}\displaystyle q = \frac{d + 2 b^3 / 27 - bc / 3}{2}\end{displaymath}$
* (解はほかに2つあるが、今回それらは虚数になる)
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* 解答
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******チェック3. 内縁半径を計算してみよう。******
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* 内縁半径はシュバルツシルト半径の3倍である。
* シュバルツシルト半径が 20km, 50km, 100km のときの内縁半径をそれぞれ計算してみよう。
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* 解答
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******チェック4. ブラックホール質量を計算してみよう。******
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* 内縁半径が 27km, 67.5km, 81km のとき、シュバルツシルト半径はそれぞれ 9km, 22.5km, 27km である。
* ではこれらのブラックホールの質量はどれくらいになるだろうか？
* 太陽質量(Msun)を基準にして答えよう。
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* ヒント
* 1Msunのシュバルツシルト半径は 3km、
* 2Msunのシュバルツシルト半径は 6km、
* 5Msunのシュバルツシルト半径は 15km である。
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* 解答
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