四元運動量

四元速度に質量$m$を書けたものを四元運動量と呼ぶ。 すなわち、

$$m \gamma (v_x, v_y, v_z, ic)$$ (96)

$$\equiv (p_x, p_y, p_z, iE/c).$$ (97)

ここで、相対論的には運動量は

$$p=m\gamma v$$ (98)

で、 エネルギーは、

$$E=m\gamma c^2$$ (99)

で表されることを用いた。 $v/c\ll 1$のとき、 $\gamma \approx 1 - \frac{1}{2}(v/c)^2$を用いて、 (99)は、

$$E \approx m c^2 + \frac{1}{2} m v^2$$ (100)

と近似できる。最初の項が静止エネルギー、二番目の項が、ニュートン力学における 通常の運動エネルギーである。

(90)より、四元運動量の長さの二乗は$-m^2c^2$だから、 良く知られたエネルギーと運動量の間の関係式、

$$E^2= m^2c^4+p^2c^2$$ (101)

が得られる。

特に、光子など質量がゼロである素粒子の場合は、

$$E= p\:c.$$ (102)

光の波長を$\lambda$,振動数を$\nu$とするとき、$h$をプランク定数として、光子のエネルギーは$E=h\nu$,運動量は $p=h/\lambda=h\nu/c$で表わされることを思いだそう。 あたりまえだが、光子について、(101)が成立している。